Что такое устойчивые формулы. Длина стержня приведенная
Рассмотрим стержень постоянного сечения, оба конца которого закреплены шарнирно (рис. 12.3). Стержень сжимается критической силой. Рассматриваем малые перемещения сечений стержня. Задавшись прогибом оси стержня в определенном сечении, найдем величину осевой сжимающей силы, при которой такой прогиб возможен. Будем считать, что напряжения в стержне не превышает предела пропорциональности.
Рис. 12.3. Схема изгиба стержня критической силой F кр .
Начало координат поместим в точке О , ось z направлена вдоль оси стержня, ось y – влево от начала координат. Определим прогиб стержня в произвольном сечении z .
Воспользуемся приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня:
Определим изгибающий момент в произвольном сечении стержня:
Последнее выражение представляет собой однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Решение этого уравнения можно записать в виде гармонической функции:
у = A sinkz +B coskz .
Постоянные интегрирования А и В находятся из граничных условий:
при z = 0, у = 0, В = 0 и дифференциальное уравнение принимает следующий вид:
y = A sinkz .
Стержень изгибается по синусоиде.
При z = l, у = 0 A sinkl = 0.
Известно, что произведение двух сомножителей равно нулю, лишь в том случае, если один из сомножителей равен нулю. Разберем оба случая.
Пусть А = 0, то у(z) всегда равен нулю и прогиба вообще не существует. Это решение противоречит принятому предположению о том, что стержень прогнулся, т. е. А 0. Следовательно, должно выполняться условие sinkl = 0, откуда:
kl = 0, , 2 , 3 , …, n
где п – любое целое число.
Определим, какое значение п подходит к решению данной задачи. Рассмотрим условие
Из последнего выражения следует, что если k = 0, то F кр =0, т. е. стержень не нагружен, а это противоречит условию задачи. Следовательно, значение k = 0 можно исключить из решения. В общем случае имеем:
Приравняв F = F кр , получим выражение
где наименьшее значение сжимающей силы, при котором проис-
ходит продольный изгиб, поэтому следует принять п = 1.
Тогда уравнение для определения критической силы примет вид
Таким образом, стержень изгибается по синусоиде с одной полуволной.
При z = l /2 прогиб стержня имеет максимальное значение.
При n = 2 и n = 3 стержень изгибается по двум и трем полуволнам синусоиды соответственно (рис. 12.4, б, в).
Прогиб стержня в произвольном сечении под воздействием сжимающей силы можно определить по формуле
Потеря устойчивости стержня происходит в плоскостях наименьшей жесткости, т. е. J = J min , поэтому при определении критической силы следует учитывать наименьший осевой момент инерции сечения, тогда окончательно:
Таким образом, имеем формулу Эйлера (1744) для определения критической силы для стержня с двумя шарнирно закрепленными концами (основной случай).
Рис. 12.4. Схема изогнутой оси стержня при различных значениях n
Величина критической силы прямо пропорциональна наименьшей жесткости сечения и обратно пропорциональна квадрату длины стержня .
Как видно из формулы Эйлера, величина критической силы зависит от геометрических характеристик стержня и модуля упругости материала, но не зависит от прочностных характеристик материала.
Так, например, критическая сила F кр практически не зависит от марки стали.
Предельная растягивающая сила зависит от прочностных характеристик (в зависимости от марки стали она будет различной) и не зависит от длины стержня. Таким образом, можно утверждать, что имеется существенное различие между работой стержня на растяжение и сжатие.
Выше был рассмотрен так называемый основной случай закрепления концов сжатого стержня, когда оба конца стержня закреплены шарнирно. На практике применяются и другие способы закрепления концов стержня.
Рассмотрим, как влияют условия закрепления стержня на величину критической силы.
Второй случай : один конец стержня жестко защемлен, второй – свободен (рис. 12.5, а).
Рис. 12.5. Схема закрепления стержня по второму случаю
При потере устойчивости верхний конец стержня отклонится на некоторую величину и повернется, нижний защемленный конец останется вертикальным. Изогнутая ось получится такая же, как для одной половины стержня первого случая (рис. 12.5, б).
Для получения полного соответствия с первым случаем продолжим мысленно изогнутую ось стержня вниз. Тогда форма потери устойчивости будет полностью совпадать с первым случаем. Отсюда можно сделать вывод, что критическая сила для этого случая будет такая же, как и для пропорционально закрепленного по концам стержня длиной 2 м. Тогда
Третий случай: оба конца стержня жестко закреплены (рис. 12.6).
После потери устойчивости концы стержня не поворачиваются. Средняя часть стержня длиной l /2 вследствие симметрии будет работать в таких же условиях, что и стержень с шарнирно опертыми концами, но длиной l . Тогда, исходя из формулы, получим:
Рис. 12.6. Схема закрепления стержня
по третьему случаю
Четвертый случай: один конец стержня жестко защемлен, а другой – закреплен шарнирно. В этом случае верхняя часть стержня длиной приблизительно 2l /3 имеет вид полуволны синусоиды и находится в таких же условиях, что и стержень с шарнирными опорами на концах (рис. 12.7).
Рис. 12.7. Схема закрепления стержня
по четвертому случаю
Анализируя последние выражения для определения критической силы, приходим к выводу, что чем более жестко закреплены концы стержня, тем большую нагрузку данный стержень может воспринимать.
Поэтому зависимости для определения критической силы при различных условиях закрепления стержня можно объединить в одну формулу:
где приведенная длина стержня;
Коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа
закрепления концов стержня;
Фактическая длина стержня.
Понятие о приведенной длине стержня впервые было введено профессором Петербургского института путей сообщения Ф. С. Ясинским в 1892 году.
Необходимо также отметить, что при составлении формул для определения критических сил в стержнях с различными условиями закрепления по концам использовалась аналогия в формах потери устойчивости отдельных их участков.
Однако эти решения можно получить также строго математически. Для этого необходимо записать для каждого случая дифференциальное уравнение упругой линии стержня при потере устойчивости и решить его с использованием граничных условий.
Коэффициент продольной длины стержня в зависимости от условий его закрепления представлен на рис. 12.8.
Рис.12.8. Коэффициент приведения длины для различных случаев
закрепления концов стержня
Понятие об устойчивости и критической силе. Проектировочный и проверочный расчеты.
В конструкциях и сооружениях большое применение находят детали, являющиеся относительно длинными и тонкими стержнями, у которых один или два размера поперечного сечения малы по сравнению с длиной стержня. Поведение таких стержней под действием осевой сжимающей нагрузки оказывается принципиально иным, чем при сжатии коротких стержней: при достижении сжимающей силой F некоторой критической величины, равной Fкр, прямолинейная форма равновесия длинного стержня оказывается неустойчивой, и при превышении Fкр стержень начинает интенсильно искривляется (выпучивается). При этом новым (моментным) равновесным состоянием упругого длинного становится некоторая новая уже криволинейная форма. Это явление носит название потери устойчивости.
Рис. 37. Потеря устойчивости
Устойчивость - способность тела сохранять положение или форму равновесия при внешних воздействиях.
Критическая сила (Fкр) - нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы (положения) тела. Условие устойчивости:
Fmax ≤ Fкр, (25)
Устойчивость сжатого стержня. Задача Эйлера .
При определении критической силы, вызывающей потерю устойчивости сжатого стержня, предполагается, что стержень идеально прямой и сила F приложена строго центрально. Задачу о критической нагрузке сжатого стержня с учетом возможности существования двух форм равновесия при одном и том же значении силы решил Л. Эйлер в 1744 году.
Рис. 38. Сжатый стержень
Рассмотрим шарнирно опертый по концам стержень, сжатый продольной силой F. Положим, что по какой-то причине стержень получил малое искривление оси, вследствие чего в нем появился изгибающий момент M:
где y - прогиб стержня в произвольном сечении с координатой x.
Для определения критической силы можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением упругой линии:
(26)
Проведя преобразования, можно увидеть, что минимальное значение критическая сила примет при n = 1 (на длине стержня укладывается одна полуволна синусоиды) и J = Jmin (стержень искривляется относительно оси с наименьшим моментом инерции)
(27)
Это выражение - формула Эйлера.
Зависимость критической силы от условий закрепления стержня.
Формула Эйлера была получена для, так называемого, основного случая - в предположении шарнирного опирания стержня по концам. На практике встречаются и другие случаи закрепления стержня. При этом можно получить формулу для определения критической силы для каждого из этих случаев, решая, как в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение изогнутой оси балки с соответствующими граничными условиями. Но можно использовать и более простой прием, если вспомнить, что, при потере устойчивости на длине стержня должна укладываться одна полуволна синусоиды.
Рассмотрим некоторые характерные случаи закрепления стержня по концам и получим общую формулу для различных видов закрепления.
Рис. 39. Различные случаи закрепления стержня
Общая формула Эйлера:
(28)
где μ·l = l пр - приведенная длина стержня; l - фактическая длина стержня; μ - коэффициент приведенной длины, показывающий во сколько раз необходимо изменить длину стержня, чтобы критическая сила для этого стержня стала равна критической силе для шарнирно опертой балки. (Другая интерпретация коэффициента приведенной длины: μ показывает, на какой части длины стержня для данного вида закрепления укладывается одна полуволна синусоиды при потере устойчивости.)
Таким образом, окончательно условие устойчивости примет вид
(29)
Рассмотрим два вида расчета на устойчивость сжатых стержней - проверочный и проектировочный.
Проверочный расчет
Порядок проверочного расчета на устойчивость выглядит так:
Исходя из известных размеров и формы поперечного сечения и условий закрепления стержня, вычисляем гибкость;
По справочной таблице находим коэффициент понижения допускаемого напряжения, затем определяем допускаемое напряжение на устойчивость;
Сравниваем максимальное напряжение с допускаемым напряжением на устойчивость.
Проектировочный расчет
При проектировочном расчете (подобрать сечение под заданную нагрузку) в расчетной формуле имеются две неизвестные величины - искомая площадь поперечного сечения A и неизвестный коэффициент φ (так как φ зависит от гибкости стержня, а значит и от неизвестной площади A). Поэтому при подборе сечения обычно приходится пользоваться методом последовательных приближений:
Обычно в первой попытке принимают φ 1 = 0,5…0,6 и определяют площадь сечения в первом приближении
По найденной площади A1 подбирают сечение и вычисляют гибкость стержня в первом приближении λ1. Зная λ, находят новое значение φ′1;
Выбор материала и рациональной формы сечения.
Выбор материала . Так как в формулу Эйлера из всех механических характеристик входит лишь модуль Юнга, то для повышения устойчивости стержней большой гибкости нецелесообразно применять высокопрочные материалы, так как модуль Юнга для всех марок сталей примерно одинаков.
Для стержней малой гибкости применение высокосортных сталей оправдано, так как с повышением предела текучести у таких сталей повышаются и критические напряжения, а значит и запас устойчивости.
Л е к ц и я 7
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
Понятие об устойчивости сжатого стержня. Формула Эйлера. Зависимость критической силы от способа закрепления стержня. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского. Расчет на устойчивость.
Понятие об устойчивости сжатого стержня
Рассмотрим стержень с прямой осью, нагруженный продольной сжимающей силой F. В зависимости от величины силы и параметров стержня (материал, длина, форма и размеры поперечного сечения) его прямолинейная форма равновесия может быть устойчивой или не устойчивой.
Д ля определения вида равновесия стержня подействуем на него небольшой поперечной нагрузкой Q. В результате стержень перейдет в новое положение равновесия с изогнутой осью. Если после прекращения действия поперечной нагрузки стержень возвращается в исходное (прямолинейное) положение, то прямолинейная форма равновесия является устойчивой (рис 7.1а). В том случае, когда после прекращения действия поперечной силы Q стержень не возвращается в первоначальное положение, прямолинейная форма равновесия является неустойчивой (рис 7.1б).
Таким образом, устойчивостью называется способность стержня после некоторого отклонения от первоначального положения в результате действия какой-либо возмущающей нагрузки самопроизвольно возвращаться в исходное положение при прекращении действия этой нагрузки. Наименьшая продольная сжимающая сила, при которой прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, называется критической силой.
Рассмотренная схема работы центрального сжатого стержня носит теоретический характер. На практике сжимающая сила может действовать с некоторым эксцентриситетом, а стержень может иметь некоторую (хотя бы и небольшую) начальную кривизну. Поэтому с самого начала продольного нагружения стержня наблюдается его изгиб. Исследования показывают, что пока сжимающая сила меньше критической силы, прогибы стержня будут небольшими. При приближении силы к критическому значению прогибы начинают неограниченно возрастать. Этот критерий (неограниченный рост прогибов при ограниченном росте сжимающей силы) и принимается за критерий потери устойчивости.
Потеря устойчивости упругого равновесия имеет место не только при сжатии стержня, но и при его кручении, изгибе и более сложных видах деформации.
Формула Эйлера
Рассмотрим стержень с прямой осью, закрепленный посредством двух шарнирных опор (рис 7.2). Примем, что действующая на стержень продольная сжимающая сила достигла критического значения, и стержень изогнулся в плоскости наименьшей жесткости. Плоскость наименьшей жесткости расположена перпендикулярно к той главной центральной оси сечения, относительно которой осевой момент инерции сечения имеет минимальное значение.
(7.1)
где М – изгибающий момент; I min – минимальный момент инерции сечения.
Из рис. 7.2 находим изгибающий момент
(7.2)
На рис. 7.2 изгибающий момент, обусловленный действием критической силы, положителен, а прогиб – отрицателен. С целью согласования принятых знаков в зависимости (7.2) поставлен знак минус.
Подставляя (7.2) в (7.1), для определения функции прогиба получаем дифференциальное уравнение
(7.3)
(7.4)
Из курса высшей математики известно, что решение уравнения (7.3) имеет вид
где A, B – постоянные интегрирования.
Для определения постоянных интегрирования в (7.5) используем краевые условия
Для изогнутого стержня коэффициенты A и B не могут одновременно быть равными нулю (иначе стержень не будет изогнутым). Поэтому
Приравнивая (7.6) и (7.4), находим
(7.7)
Практическое значение имеет наименьшее, отличное от нуля, значение критической силы. Поэтому, подставив в (7.7) n=1, окончательно будем иметь
(7.8)
Зависимость (7.8) называется формулой Эйлера.
Зависимость критической силы
от способа закрепления стержня
Формула (7.8) получена для случая закрепления стержня посредством двух шарнирных опор, расположенных на его краях. При других способах закрепления стержня для определения критической силы используется обобщенная формула Эйлера
(7.9)
где μ – коэффициент приведения длины, учитывающий способ закрепления стержня.
Наиболее распространенные способы закрепления стержня и соответствующие им коэффициенты приведения длины показаны на рис. 7.3.
Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского
П ри выводе формулы Эйлера было использовано условие, что в момент потери устойчивости выполняется закон Гука. Напряжение в стержне в момент потери устойчивости равно
где
- гибкость стержня; A
– площадь поперечного сечения стержня.
В момент потери устойчивости закон Гука будет выполняться при условии
где
σ пц
– предел пропорциональности материала
стержня;
- первая предельная гибкость стержня.
Для стали Ст3 λ пр1
= 100.
Таким образом, формула Эйлера справедлива при выполнении условия (7.10).
Если
гибкость стержня расположена в интервале
то
стержень будет терять устойчивость в
области упруго-пластических деформаций
и формулу Эйлера использовать нельзя.
В этом случае критическая сила определяется
по экспериментальной формуле Ясинского
где a, b – экспериментальные коэффициенты. Для стали Ст3 a = 310 Мпа, b = 1,14 Мпа.
Вторая предельная гибкость стержня определяется по формуле
где σ т – предел текучести материала стержня. Для стали Ст3 λ пр2 = 60.
При выполнении условия λ ≤ λ пр2 критическое напряжение (по Ясинскому) будет превышать предел текучести материала стержня. Поэтому в этом случае для определения критической силы используется соотношение
(7.12)
В качестве примера на рис. 7.4 показана зависимость критического напряжения от гибкости стержня для стали Ст3.
Расчет на устойчивость
Расчет на устойчивость выполняется с использованием условия устойчивости
(7.13)
Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость;
- коэффициент запаса устойчивости.
Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость находится по допускаемому напряжению при расчете на сжатие
(7.14)
где φ – коэффициент продольного изгиба (или снижения основного допускаемого напряжения). Данный коэффициент изменяется в пределах 0 ≤ φ ≤ 1.
Учитывая, что для пластичных материалов
из формул (7.13) и (7.14) следует
(7.15)
Значения коэффициента продольного изгиба в зависимости от материала и гибкости стержня приводятся в справочной литературе.
Наиболее интересен проектный расчет из условия устойчивости. При данном виде расчета известны: расчетная схема (коэффициент μ), внешняя сжимающая сила F, материал (допускаемое напряжение [σ]) и длина l стержня, форма его поперечного сечения. Необходимо определить размеры поперечного сечения.
Трудность заключается в том, что неизвестно по какой формуле определять критическое напряжение, т.к. без размеров поперечного сечения нельзя определить гибкость стержня. Поэтому расчет выполняется методом последовательных приближений:
1) Принимаем начальное значение = 0,5. Определяем площадь поперечного сечения
2) По площади находим размеры поперечного сечения.
3) Используя полученные размеры поперечного сечения, вычисляем гибкость стержня, а по гибкости – конечное значение коэффициента продольного изгиба .
4) При несовпадении
значений
и
выполняем
второе приближение. Начальное значение
φ во втором приближении принимаем равным
.
И так далее.
Расчеты повторяем до тех пор, пока начальное и конечное значения коэффициента φ будут отличаться не более чем на 5%. В качестве ответа принимаем значения размеров, полученных в последнем приближении.
Для нахождения критических напряжений надо вычислить критическую силу , т. е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень.
Эту задачу впервые решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.
Заметим, что самая постановка задачи иная, чем во всех ранее рассмотренных отделах курса. Если раньше мы определяли деформацию стержня при заданных внешних нагрузках, то здесь ставится обратная задача: задавшись искривлением оси сжатого стержня, следует определить, при каком значении осевой сжимающей силы Р такое искривление возможно.
Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам; одна из опор допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня (рис.3). Собственным весом стержня пренебрегаем.
Рис.3. Расчетная схема в «задаче Эйлера»
Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости; стержень удерживается в искривленном состоянии, что возможно, так как .
Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня. Выбрав начало координат в точке А и направление координатных осей, как показано на рис.3, имеем:
(1) |
Возьмем сечение на расстоянии х от начала координат; ордината изогнутой оси в этом сечении будет у , а изгибающий момент равен
По исходной схеме изгибающий момент получается отрицательным, ординаты же при выбранном направлении оси у оказываются положительными. (Если бы стержень искривился выпуклостью книзу, то момент был бы положительным, а у - отрицательным и .)
Приведенное только что дифференциальное уравнение принимает вид:
деля обе части уравнения на EJ и обозначая дробь через приводим его к виду:
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
Это решение заключает в себе три неизвестных: постоянные интегрирования а и b и значение , так как величина критической силы нам неизвестна.
Краевые условия на концах стержня дают два уравнения:
в точке А при х = 0 прогиб у = 0,
В х = 1 у = 0.
Из первого условия следует (так как и cos kx =1)
Таким образом, изогнутая ось является синусоидой с уравнением
(2) |
Применяя второе условие, подставляем в это уравнение
у = 0 и х = l
получаем:
Отсюда следует, что или а или kl равны нулю.
Если а равно нулю, то из уравнения (2) следует, что прогиб в любом сечении стержня равен нулю, т. е. стержень остался прямым. Это противоречит исходным предпосылкам нашего вывода. Следовательно, sin kl = 0, и величина может иметь следующий бесконечный ряд значений:
где - любое целое число.
Отсюда , а так как то
Иначе говоря, нагрузка, способная удержать слегка искривленный стержень в равновесии, теоретически может иметь целый ряд значений. Но так как отыскивается, и интересно с практической точки зрения, наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой становится возможным продольный изгиб, то следует принять .
Первый корень =0 требует, чтобы было равно нулю, что не отвечает исходным данным задачи; поэтому этот корень должен быть отброшен и наименьшим корнем принимается значение . Тогда получаем выражение для критической силы:
Таким образом, чем больше точек перегиба будет иметь синусоидально-искривленная ось стержня, тем большей должна быть критическая сила. Более полные исследования показывают, что формы равновесия, определяемые формулами (1), неустойчивы; они переходят в устойчивые формы лишь при наличии промежуточных опор в точках В и С (рис.1).
Рис.1
Таким образом, поставленная задача решена; для нашего стержня наименьшая критическая сила определяется формулой
а изогнутая ось представляет синусоиду
Величина постоянной интегрирования а осталась неопределенной; физическое значение ее выяснится, если в уравнении синусоиды положить ; тогда (т. е. посредине длины стержня) получит значение:
Значит, а - это прогиб стержня в сечении посредине его длины. Так как при критическом значении силы Р равновесие изогнутого стержня возможно при различных отклонениях его от прямолинейной формы, лишь бы эти отклонения были малыми, то естественно, что прогиб f остался неопределенным.
Он должен быть при этом настолько малым, чтобы мы имели право применять приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси, т. е. чтобы было по прежнему мало по сравнению с единицей.
Получив значение критической силы, мы можем сейчас же найти и величину критического напряжения , разделив силу на площадь сечения стержня F ; так как величина критической силы определялась из рассмотрения деформаций стержня, на которых местные ослабления площади сечения сказываются крайне слабо, то в формулу для входит момент инерции поэтому принято при вычислении критических напряжений, а также при составлении условия устойчивости вводить в расчет полную, а не ослабленную, площадь поперечного сечения стержня . Тогда будет равно
Таким образом, если бы площадь сжатого стержня с такой гибкостью была подобрана лишь по условию прочности, то стержень разрушился бы от потери устойчивости прямолинейной формы.
Рассмотрим стержень длиной /, один конец которого закреплен жестко, а на другом свободном конце приложена центральная сжимающая сила F (рис. 15.8).
Рис . 15.8.
Общее решение задачи, записанное в виде формулы (15.15), в этом случае остается в силе. Что же касается граничных условий, то они запишутся в следующем виде:
Искомое решение можно найти и иначе. Условно продолжим стержень вправо от защемленной опоры на длину / симметрично левой части, и тогда вместо граничных условий (15.21), получим новые условия:
Таким образом, новая задача фактически совпала с рассмотренной выше задачей Эйлера. Различие состоит только в том, что в конечном результате (15.20) длину / следует заменить на 21:
Формулу Эйлера можно обобщить также на другие случаи закрепления концов стержня. Для этого в расчетную формулу Эйлера вводится поправочный коэффициент р, называемый коэффициентом приведения длины стержня:
Коэффициент численно равен обратному числу от количества полуволн синусоиды, укладывающихся вдоль изогнутой оси стержня. На рис. 15.9 представлены различные виды крепления концов стержня и соответствующие им коэффициенты приведения длины.
Можно показать, что для первых трех стержней, изображенных на рис. 15.9, а - в, значения коэффициента приведенной длины точное. Что же касается четвертой задачи, то для нее значение приведенной длины определено приближенно. Рассмотрим задачу определения р для этого случая (рис. 15.9, г).
Уравнение деформированной оси стержня имеет вид
Здесь R - величина горизонтальной реактивной силы верхней опоры.
Рис. 15.9.
После преобразования уравнения (15.25) с учетом формулы (15.13) получим
Уравнение (15.26), в отличие от уравнения (15.14), является неоднородным. Его общее решение запишется так же, как и общее решение соответствующего однородного уравнения (15.14). Частное решение имеет вид
Таким образом, решение уравнение (15.25) запишется в форме
В этом решении величина R играет роль третьей неизвестной константы, п поэтому для решения этой задачи необходимо сформулировать третье граничное условие:
Используя граничные условия, получим систему трех нелинейных уравнений
Раскрывая определитель, приходим к следующему нелинейному уравнению:
Решение нелинейного уравнения (15.29) можно получить как численно, так и графически. Для наглядности выберем второй способ решения. Построим графики следующих функций: у = tgkl, у = kl (рис. 15.10).
Рис. 15.10. Графики функций у = tg kl, у = kl
Точка пересечения графиков С соответствует значению корня kl ~ 4,5, откуда
В формулу для критической силы входит главный центральный момент инерции относительно оси Oz - / Ю1 . = так как мы загодя сделали предположение о том, что стержень теряет устойчивость и изгибается в направлении, перпендикулярном к оси Ох. Однако, как уже отмечалось, если при этом условия закрепления опор позволяют стержню деформироваться в любом направлении равновероятно, то стержень потеряет устойчивость в том направлении, в котором момент инерции его поперечного сечения имеет минимальное значение 7 min .
Если же условия закрепления более сложные, то для оценки критической силы необходим дополнительный анализ. Для примера рассмотрим стержень (рис. 15.11), левая опора которого жестко заделана. Что касается правой опоры, то здесь заданы условия подвижной заделки, разрешающей перемещения и повороты в плоскости ху и запрещающие их в плоскости zx. Поперечное сечение стержня - прямоугольное с отношением сторон Н = 2В.
Рис. 15.11.
Закреплению стержня в плоскости ху соответствует коэффициент приведения длины р = 2 (см. рис. 15.8), а в плоскости xz - р = 0,5 (см. рис. 15.9, а).
Подсчитаем критические силы в предположении о том, что потеря устойчивости произойдет: 1) в плоскости ху и 2) в плоскости xz:
Сравнивая значения, заключаем: потеря устойчивости произойдет в плоскости ху , поскольку этому варианту соответствует меньшее значение критической силы.