Как рассчитать погрешность измерения. Измерение физических величин
В наш век человек придумал и использует огромное множество всевозможных измерительных приборов. Но какой бы совершенной ни была технология их изготовления, все они имеют большую или меньшую погрешность. Этот параметр, как правило, указывается на самом инструменте, и для оценки точности определяемой величины нужно уметь разбираться в том, что означают указанные на маркировке цифры. Кроме того, относительная и абсолютная погрешность неизбежно возникает при сложных математических расчетах. Она широко применяется в статистике, промышленности (контроль качества) и в ряде других областей. Как рассчитывается эта величина и как трактовать ее значение - об этом как раз и пойдет речь в данной статье.
Абсолютная погрешность
Обозначим через х приближенное значение какой-либо величины, полученное, к примеру, посредством однократного измерения, а через х 0 - ее точное значение. Теперь вычислим модуль разности между этими двумя числами. Абсолютная погрешность - это как раз и есть то значение, что получилось у нас в результате этой нехитрой операции. Выражаясь языком формул, данное определение можно записать в таком виде: Δ x = | x - x 0 |.
Относительная погрешность
Абсолютное отклонение обладает одним важным недостатком - оно не позволяет оценить степень важности ошибки. Например, покупаем мы на рынке 5 кг картофеля, а недобросовестный продавец при измерении веса ошибся на 50 грамм в свою пользу. То есть абсолютная погрешность составила 50 грамм. Для нас такая оплошность будет сущей мелочью и мы даже не обратим на нее внимания. А представьте себе, что случится, если при приготовлении лекарства произойдет подобная ошибка? Тут уже все будет намного серьезней. А при загрузке товарного вагона наверняка возникают отклонения намного больше данного значения. Поэтому сама по себе абсолютная погрешность малоинформативная. Кроме нее очень часто дополнительно рассчитывают относительное отклонение, равное отношению абсолютной погрешности к точному значению числа. Это записывается следующей формулой: δ = Δ x / x 0 .
Свойства погрешностей
Предположим, у нас есть две независимые величины: х и у. Нам требуется рассчитать отклонение приближенного значения их суммы. В этом случае мы может рассчитать абсолютную погрешность как сумму предварительно рассчитанных абсолютных отклонений каждой из них. В некоторых измерениях может произойти так, что ошибки в определении значений x и y будут друг друга компенсировать. А может случиться и такое, что в результате сложения отклонения максимально усилятся. Поэтому, когда рассчитывается суммарная абсолютная погрешность, следует учитывать наихудший из всех вариантов. То же самое справедливо и для разности ошибок нескольких величин. Данное свойство характерно лишь для абсолютной погрешности, и к относительному отклонению его применять нельзя, поскольку это неизбежно приведет к неверному результату. Рассмотрим эту ситуацию на следующем примере.
Предположим, измерения внутри цилиндра показали, что внутренний радиус (R 1) равен 97 мм, а внешний (R 2) - 100 мм. Требуется определить толщину его стенки. Вначале найдем разницу: h = R 2 - R 1 = 3 мм. Если в задаче не указывается чему равна абсолютная погрешность, то ее принимают за половину деления шкалы измерительного прибора. Таким образом, Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 мм. Суммарная абсолютная погрешность равна: Δ(h) = Δ(R 2) +Δ(R 1) = 1 мм. Теперь рассчитаем относительно отклонение всех величин:
δ(R 1) = 0,5/100 = 0,005,
δ(R 1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,
δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).
Как видим, погрешность измерения обоих радиусов не превышает 5,2%, а ошибка при расчете их разности - толщины стенки цилиндра - составила целых 33,(3)%!
Следующее свойство гласит: относительное отклонение произведения нескольких числе примерно равно сумме относительных отклонений отдельных сомножителей:
δ(ху) ≈ δ(х) + δ(у).
Причем данное правило справедливо независимо от количества оцениваемых величин. Третье и последнее свойство относительной погрешности состоит в том, что относительная оценка числа k-й степени приближенно в | k | раз превышает относительную погрешность исходного числа.
Задача ставится так: пусть искомая величина z определяется через другие величины a, b, c , ..., полученные при прямых измерениях
z = f (a, b, c,...) (1.11)
Необходимо найти среднее значение функции и погрешность ее измерений, т.е. найти доверительный интервал
при надежности a и относительную погрешность.
Что касается, то оно находится путем подстановки в правую часть (11) вместо a, b, c ,... их средних значений
3. Оценить полуширину доверительного интервала для результата косвенных измерений
,
где производные... вычисляются при
4. Определить относительную погрешность результата
5. Если зависимость z от a, b, c ,... имеет вид , где k, l, m ‒ любые действительные числа, то сначала следует найти относительную ошибку
а затем абсолютную .
6. Окончательный результат записать в виде
z = ± Dz , ε = …% при a= … .
Примечание:
При обработке результатов прямых измерений нужно следовать следующему правилу: численные значения всех рассчитываемых величин должны содержать на один разряд больше, чем исходные (определенные экспериментально) величины.
При косвенных измерениях вычисления производить по правилам приближенных вычислений :
Правило 1. При сложении и вычитании приближенных чисел необходимо:
а) выделить слагаемое, у которого сомнительная цифра имеет наиболее высокий разряд;
б) все остальные слагаемые округлить до следующего разряда (сохраняется одна запасная цифра);
в) произвести сложение (вычитание);
г) в результате отбросить последнюю цифру путем округления (разряд сомнительной цифры результата при этом совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр слагаемых).
Пример: 5,4382·10 5 – 2,918·10 3 + 35,8 + 0,064.
В этих числах последние значащие цифры сомнительные (неверные уже отброшены). Запишем их в виде 543820 – 2918 + 35,8 + 0,064.
Видно, что у первого слагаемого сомнительная цифра 2 имеет наиболее высокий разряд (десятки). Округлив все другие числа до следующего разряда и сложив, получим
543820 – 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5,4094·10 5 .
Правило 2. При умножении (делении) приближенных чисел необходимо:
а) выделить число (числа) с наименьшим количеством значащих цифр (ЗНАЧАЩИЕ – цифры отличные от ноля и ноли стоящие между ними );
б) округлить остальные числа так, чтобы в них было на одну значащую цифру больше (сохраняется одна запасная цифра), чем выделенном по п. а;
в) перемножить (разделить) полученные числа;
г) в результате оставить столько значащих цифр, сколько их было в числе (числах) с наименьшим количеством значащих цифр.
Пример: .
Правило 3. При возведении в степень, при извлечении корня в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в исходном числе.
Пример: .
Правило 4. При нахождении логарифма числа мантисса логарифма должна иметь столько значащих цифр, сколько их в исходном числе:
Пример: .
В окончательной записиабсолютной погрешности следует оставлять только одну значащую цифру . (Если этой цифрой окажется 1, то после нее сохраняют еще одну цифру).
Среднее значение округляется до того же разряда, что и абсолютная погрешность.
Например: V = (375,21 0,03) см 3 = (3,7521 0,0003) см 3 .
I = (5,530 0,013) А, A = Дж.
Порядок выполнения работы
Определение диаметра цилиндра .
1. Штангенциркулем измерить 7 раз (в разных местах и направлениях) диаметр цилиндра. Результаты записать в таблицу.
№ п/п | d i , мм | d i - | (d i - ) 2 | h i , мм
и Похожая информация: |
Погрешности измеряемых и табличных величин обуславливают погрешности DХ ср косвенно определяемой величины, причем наибольший вклад в DХ ср дают наименее точные величины, имеющие максимальную относительную погрешность d . Поэтому, для повышения точности косвенных измерений, необходимо добиваться равноточности прямых измерений
(d А, d В, d С, …).
Правила нахождения погрешностей косвенных измерений:
1. Находят натуральный логарифм от заданной функции
ln{X = f(A,B,C,…)};
2. Находят полный дифференциал (по всем переменным) от найденного натурального логарифма заданной функции;
3. Заменяют знак дифференциала d на знак абсолютной погрешности D;
4. Заменяют все «минусы», стоящими перед абсолютными погрешностями DА, DВ, DС , … на «плюсы».
В результате получается формула наибольшей относительной погрешности d x косвенно измеренной величины Х:
d x = = j (A ср, B ср, C ср, …, DA ср, DB ср, DC ср, …). (18)
По найденной относительной погрешности d x определяют абсолютную погрешность косвенного измерения:
DХ ср = d x . Х ср . (19)
Результат косвенных измерений записывают в стандартном виде и изображают на числовой оси:
X = (X ср ± DХ ср), ед.изм. (20)
Пример :
Найти значения относительной и средней погрешностей физической величины L , определяемой косвенно по формуле:
, (21)
где π, g, t, k, α, β – величины, значения которых измерены или взяты из справочных таблиц и занесены в таблицу результатов измерений и табличных данных (подобную табл.1).
1. Вычисляют среднее значение L ср , подставляя в (21) средние значения из таблицы – π ср, g ср, t ср, k ср, α ср, β ср.
2. Определяют наибольшую относительную погрешность δ L :
a). Логарифмируют формулу (21):
b). Дифференцируют полученное выражение (22):
c).Заменяют знак дифференциала d на Δ, а «минусы» перед абсолютными погрешностями – на «плюсы», и получают выражение для наибольшей относительной погрешности δ L :
d). Подставляя в полученное выражение средние значения входящих величин и их погрешностей из таблицы результатов измерений, вычисляют δ L .
3. Затем вычисляют абсолютную погрешность ΔL ср :
Результат записывают в стандартном виде и изображают графически на оси L :
, ед. изм.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ
Измерение есть нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств - мер, измерительных приборов.
Мера есть средство измерений, воспроизводящее физическую величину заданного размера - единица измерения, ее кратное или дробное значение. Например, гири 1 кг, 5 кг, 10 кг.
Измерительный прибор есть средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем. Измерительный прибор позволяет прямо или косвенно сравнивать измеряемую величину с мерами. Измерения также разделяют на прямые и косвенные.
При прямых измерениях искомое значение величины находят непосредственно из основных (опытных) данных.
При косвенных измерениях искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Принцип измерений есть совокупность физических явлений, на которых основаны измерения.
Метод измерений - совокупность приемов использования принципов и средств измерений. Значение физической величины, которое идеальным образом отражало бы в качественном и количественном отношениях соответствующее свойство данного объекта есть истинное значение физической величины. Значение физической величины, найденное путем ее измерения есть результат измерения.
Отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины есть погрешность измерения.
Абсолютная погрешность измерения есть погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины и равная разности результата и истинного значения измеряемой величины. Отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины есть относительная погрешность измерения.
Вклад в погрешность измерения вносят погрешности средств измерений (инструментальная или приборная погрешность), несовершенство метода измерений, погрешность отсчитывания по шкале прибора, внешние влияния на средства и объекты измерений, запаздывание реакции человека на световой и звуковой сигналы.
По характеру проявления погрешности делят на систематические и случайные. Случайным называется событие, которое при заданном комплексе факторов может произойти или не произойти.
Случайная погрешность - составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Характерным признаком случайных погрешностей является изменение величин и знака погрешности в неизменных условиях измерений.
Систематическая погрешность - составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические погрешности в принципе могут быть исключены путем поправок, применением более точных приборов и методов (хотя на практике обнаружить систематическую погрешность не всегда легко). Исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, математическая теория случайных явлений (теория вероятности) позволяет лишь установить обоснованную оценку их величины.
Погрешности прямых измерений
Положим, что систематические погрешности исключены и погрешности результатов измерений являются только случайными. Обозначим буквами - результаты измерений физической величины, истинное значение которого равно. Абсолютные погрешности результатов отдельных измерений обозначены:
Суммируя получено левые и правые стороны равенства (1), получим:
(2)
В основе теории случайных погрешностей лежат подтверждаемые опытом предположения:
погрешности могут принимать непрерывный ряд значений;
при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;
вероятность появления погрешности уменьшается с ростом ее величины. Необходимо также, чтобы погрешности были малы по сравнению с измеряемой величиной и независимы.
Согласно предположению (1) при числе измерений n получим
,
Однако, всегда число измерений конечно и остается неизвестным. Но для практических целей достаточно найти экспериментальным путем значение физической величины настолько приближающееся к истинному, чтоможет быть использована вместо истинного. Вопрос в том, как оценить степень этого приближения?
По теории вероятности среднее арифметическое серии измерений достовернее результатов отдельных измерений, т.к. случайные отклонения от истинного значения в разные стороны равновероятны. За вероятность появления величины a i в интервале шириной 2a i понимают относительную частоту появления значений a i , попадающих в интервал 2a i к числу всех появляющихся значений a i при числе опытов (измерений), стремящихся к бесконечности. Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю, т.е. 0 100 %.
Вероятность того, что искомая величина (истинное значение ее) содержится в интервале (a - a, a + a) назовем доверительной вероятностью (надежностью) , а соответствующий интервал (a - a, a + a) - доверительным интервалом; чем меньше величина погрешности a, тем меньше и вероятность того, что измеряемая величина содержится в интервале, определенной этой погрешностью. Верно и обратное утверждение: чем меньше надежность результата, тем уже доверительный интервал искомой величины.
При большом n (практически при n 100) полуширина доверительного интервала при заданной надежности равна
,
(3)
где K() = 1 при = 0,68; K() = 2 при = 0,95; K() = 3 при = 0,997.
При малом числе измерений, что чаще всего и встречается в студенческом лабораторном практикуме, коэффициент K()в (3) зависит не только от , но еще и от числа измерений n. Поэтому мы всегда будем при наличии только случайной погрешности полуширину доверительного интервала находить по формуле
(4)
В (4) коэффициент t n называется коэффициентом Стьюдента. Для = 0,95 принятой в студенческом практикуме, значения t n таковы:
Величину называют среднеквадратичной погрешностью среднего арифметического из серии измерений.
Погрешность прибора или меры обычно указывается в паспорте его (ее) или условным знаком на шкале прибора. Обычно под погрешностью прибора понимают полуширину интервала, внутри которого с вероятностью измерений 0,997 может быть заключена измеряемая величина, если погрешность измерений обусловлена только погрешностью прибора. В качестве общей (полной) погрешности результата измерений примем с вероятностью = 0,95
Абсолютная погрешность позволяет установить в каком знаке полученного результата содержится неточность. Относительная погрешность дает информацию о том, какую долю (процент) измеряемой величины составляет погрешность (полуширина доверительного интервала).
Окончательный результат серии прямых измерений величины a 0 запишем в виде
.
Например
(6)
Таким образом, любая физическая величина, найденная опытным путем, должна быть представлена:
Абсолютная и относительная погрешность числа.
В качестве характеристик точности приближенных величин любого происхождения вводятся понятия абсолютной и относительной погрешности этих величин.
Обозначим через а приближение к точному числу А.
Определени . Величина называется погрешностью приближенного числаа.
Определение
.
Абсолютной погрешностью
приближенного
числа а
называется
величина
.
Практически точное число А обычно неизвестно, но мы всегда можем указать границы, в которых изменяется абсолютная погрешность.
Определение . Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называется наименьшая из верхних границ для величины , которую можно найти при данном способе получения числаа.
На практике в качестве выбирают одну из верхних границ для , достаточно близкую к наименьшей.
Поскольку
,
то
.
Иногда пишут:
.
Абсолютная погрешность - это разница между результатом измерения
и истинным (действительным) значением измеряемой величины.
Абсолютная погрешность и предельная абсолютная погрешность не достаточны для характеристики точности измерения или вычисления. Качественно более существенна величина относительной погрешности.
Определение . Относительной погрешностью приближенного числа а назовем величину:
Определение . Предельной относительной погрешностью приближенного числа а назовем величину
Так как
.
Таким образом, относительная погрешность определяет фактически величину абсолютной погрешности, приходящейся на единицу измеряемого или вычисляемого приближенного числа а.
Пример. Округляя точные числа А до трех значащих цифр, определить
абсолютную Dи относительную δ погрешности полученных приближенных
Дано:
Найти:
∆-абсолютная погрешность
δ –относительная погрешность
Решение:
=|-13.327-(-13.3)|=0.027
,a0
*100%=0.203%
Ответ: =0,027; δ=0.203%
2.Десятичная запись приближенного числа. Значащая цифра. Верные знаки числа(определение верных и значащих цифр, примеры; теория о связи относительной погрешности и числа верных знаков).
Верные знаки числа.
Определение . Значащей цифрой приближенного числа а называется всякая цифра, отличная от нуля, и нуль, если он расположен между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда.
Например, в числе
0,00507 =
имеем
3 значащие цифры, а в числе 0,005070=
значащие цифры,
т.е. нуль справа, сохраняя десятичный
разряд, является значащим.
Условимся впредь нули справа записывать, если только они являются значащими. Тогда, иначе говоря,
значащими являются все цифры числа а, кроме нулей слева.
В десятичной системе счисления всякое число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной суммы (десятичной дроби):
где
,
- первая значащая
цифра, m -
целое число, называемое старшим десятичным
разрядом числа а.
Например, 518,3 =, m=2.
Пользуясь записью , введем понятие о верных десятичных знаках (в значащих цифрах) приближенно-
го числа.
Определение . Говорят, что в приближенном числе а формы n - первых значащих цифр ,
где i= m, m-1,..., m-n+1 являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-й значащей цифрой:
В противном случае
последняя цифра
называется
сомнительной.
При записи приближенного числа без указания его погрешности требуют, чтобы все записанные цифры
были верными. Это требование соблюдено во всех математических таблицах.
Термин “n верных знаков” характеризует лишь степень точности приближенного числа и его не следует понимать так, что n первых значащих цифр приближенного числа а совпадает с соответствующими цифрами точного числа А. Например, у чисел А=10, а=9,997 все значащие цифры различны, но число а имеет 3 верных значащих цифры. Действительно, здесь m=0 и n=3 (находим подбором).
При практическом осуществлении процесса измерений независимо от точности средств измерений, правильности методики и тщательности
выполнения измерений результаты измерений отличаются от истинного значения измеряемой величины, т.е. неизбежны погрешности измерений. При оценке погрешности вместо истинного значения принимают действительное; следовательно, можно дать лишь приближенную оценку погрешности измерений. Оценка достоверности результата измерений, т.е. определение погрешности измерений - одна из основных задач метрологии .
Погрешность — это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Погрешности условно можно разделить на погрешности средств измерения и погрешности результата измерений.
Погрешности средств измерения
были рассмотрены в главе 3.
Погрешность результата измерения
— это число, указывающее возможные границы неопределенности значения измеряемой величины.
Ниже будет дана классификация и рассмотрены погрешности результата измерений.
По способу числового выражения
различают абсолютные и относительные погрешности.
В зависимости от источника возникновения
погрешности бывают инструментальные, методические, отсчитывания и установки.
По закономерностям проявления
погрешности измерений делят на систематические, прогрессирующие, случайные и грубые.
Рассмотрим указанные погрешности измерений более подробно.
4.1. Абсолютные и относительные погрешности
Абсолютная погрешность
D - это разность между измеренным X и истинным Xи значениями измеряемой величины. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины: D = Х - Хи.
Поскольку истинное значение измеряемой величины определить невозможно, вместо него на практике используют действительное значение измеряемой величины Хд. Действительное значение находят экспериментально, путем применения достаточно точных методов и средств измерений. Оно мало отличается от истинного значения и для решения поставленной задачи может использоваться вместо него. При поверке за действительное значение обычно принимают показания образцовых средств измерений. Таким образом, на практике абсолютную погрешность находят по формуле D » Х - Хд. Относительная погрешность
d — это отношение абсолютной погрешности измерения к истинному (действительному) значению измеряемой величины (она обычно выражается в процентах) : .
4.2. Погрешности инструментальные и методические,
отсчитывания и установки
Инструментальными
(приборными или аппаратурными) погрешностями называются такие, которые принадлежат данному средству измерений, могут быть определены при его испытаниях и занесены в его паспорт.
Эти погрешности обусловлены конструктивными и технологическими недостатками средств измерений, а также следствием их износа, старения или неисправности. Инструментальные погрешности
, обусловленные погрешностями применяемых средств измерений, были рассмотрены в главе 3.
Однако, кроме инструментальных погрешностей, при измерениях возникают еще и такие погрешности, которые не могут быть приписаны данному прибору, не могут быть указаны в его паспорте и называются методическими,
т.е. связанными не с самим прибором, а с методом его использования.
Методические погрешности
могут возникать из-за несовершенства разработки теории явлений, положенных в основу метода измерений, неточности соотношений, используемых для нахождения оценки измеряемой величины, а также из-за несоответствия измеряемой величины и ее модели.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие методическую погрешность измерения.
Объектом исследования является источник переменного напряжения, амплитудное значение которого Um
нужно измерить. На основании предварительного изучения объекта исследования за его модель принят генератор напряжения синусоидальной формы. Используя вольтметр, предназначенный для измерений действующих значений переменных напряжений, и зная соотношение между действующим и амплитудным значениями синусоидального напряжения, получаем результат измерения в виде Um =
×
Uv,
где Uv -
показание вольтметра. Более тщательное изучение объекта могло бы выявить, что форма измеряемого напряжения отличается от синусоидальной и более правильное соотношение между значением измеряемой величины и показанием вольтметра Um =
k
×
Uv ,
где k
¹
.
Таким образом, несовершенство принятой модели объекта исследования приводит к методической погрешности измерения D
U =
×
Uv -
k
×
Uv .
Эту погрешность можно уменьшить, либо рассчитав значение k
на основе анализа формы кривой измеряемого напряжения, либо заменив средство измерений, взяв вольтметр, предназначенный для измерений амплитудных значений переменных напряжений .
Очень часто встречающейся причиной возникновения методических погрешностей является то обстоятельство, что, организуя измерения, мы вынуждены измерять (или сознательно измеряем) не ту величину, которая должна быть измерена, а некоторую другую, близкую, но не равную ей .
Примером такой методической погрешности может служить погрешность измерения напряжения вольтметром с конечным сопротивлением (рис. 4.1).
Вследствие шунтирования вольтмет-ром того участка цепи, на котором измеряется напряжение, оно оказывается меньшим, чем было до присоединения вольтметра. И действительно, напряжение, которое покажет вольтметр определится выражением U = I
×R
v
. Если учесть, что ток в цепи I =
E/(Ri +
Rv),
то
< .
Поэтому для одного и того же вольтметра, присоединяемого поочередно к разным участкам исследуемой цепи, эта погрешность различна: на низкоомных участках она ничтожна, а на высокоомных может быть очень большой. Эта погрешность могла бы быть устранена, если бы вольтметр был постоянно подключен к данному участку цепи на все время работы устройства (как на щите электростанции), но это невыгодно по многим причинам.
Нередки случаи, когда вообще трудно указать способ измерения, исключающий методическую погрешность. Пусть, например, измерению подлежит температура раскаленных болванок, поступающих из печи на прокатный стан. Спрашивается, где разместить датчик температуры (например, термопару): под болванкой, сбоку или над болванкой? Где бы мы его ни поместили, мы не измерим внутренней температуры тела болванки, т.е. будем иметь существенную методическую погрешность, так как измеряем не то, что нужно, а то, что проще (не сверлить же в каждой болванке канал, чтобы поместить термопару в её центре).
Таким образом, основной отличительной особенностью методических погрешностей является то обстоятельство, что они не могут быть указаны в паспорте прибора, а должны оцениваться самим экспериментатором при организации выбранной методики измерений, поэтому он обязан четко различать фактически измеряемую
им величину от подлежащей измерению.
Погрешность отсчитывания
происходит от недостаточно точного отсчитывания показаний. Она обусловлена субъективными особенностями наблюдателя (например, погрешность интерполирования, т.е. неточного отсчета долей деления по шкале прибора) и вида отсчетного устройства (например, погрешность от параллакса). Погрешности отсчитывания отсутствуют при использовании цифровых измерительных приборов, что является одной из причин перспективности последних.
Погрешность установки
вызывается отклонением условий измерения от нормальных, т.е. условий, при которых производилась градуировка и поверка средств измерений. Сюда относится, например, погрешность от неправильной установки прибора в пространстве или его указателя на нулевую отметку, от изменения температуры, напряжения питания и других влияющих величин.
Рассмотренные виды погрешностей в равной степени пригодны для характеристики точности как отдельных результатов измерений, так и средств измерений.
4.3. Систематические, прогрессирующие, случайные и грубые погрешности
Систематическая погрешность измерений
Dс — составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины .
Причины возникновения систематических погрешностей обычно могут быть установлены при подготовке и проведении измерений. Эти причины весьма разнообразны: несовершенство используемых средств и методов измерений, неправильная установка средства измерений, влияние внешних факторов (влияющих величин) на параметры средств измерений и на сам объект измерения, недостатки метода измерения (методические погрешности), индивидуальные особенности оператора (субъективные погрешности) и др. . По характеру проявления систематические погрешности делятся на постоянные и переменные. К постоянным относятся, например, погрешности, обусловленные неточностью подгонки значения меры, неправильной градуировкой шкалы прибора, неправильной установкой прибора относительно направления магнитных полей и т.д. Переменные систематические погрешности обусловлены воздействием на процесс измерения влияющих величин и могут возникнуть, например, при изменении напряжения источника питания прибора, внешних магнитных полей, частоты измеряемого переменного напряжения и пр. Основная особенность систематических погрешностей состоит в том, что зависимость их от влияющих величин подчиняется определенному закону. Этот закон может быть изучен, а результат измерения - уточнен путем внесения поправок, если числовые значения этих погрешностей определены. Другим способом уменьшения влияния систематический погрешностей является применение таких методов измерения, которые дают возможность исключить влияние систематических погрешностей без определения их значений (например, метод замещения).
Результат измерений тем ближе к истинному значению измеряемой величины, чем меньше оставшиеся неисключенные систематические погрешности. Наличие исключенных систематических погрешностей определяет правильность измерений, качество, отражающее близость к нулю систематических погрешностей . Результат измерения будет настолько правильным, насколько он неискажен систематическими погрешностями и тем правильнее, чем меньше эти погрешности.
Прогрессирующими
(или дрейфовыми) называются непредсказуемые погрешности, медленно изменяющиеся во времени. Эти погрешности, как правило, вызываются процессами старения тех или иных деталей аппаратуры (разрядка источников питания, старение резисторов, конденсаторов, деформация механических деталей, усадка бумажной ленты в самопишущих приборах и т. п.). Особенностью прогрессирующих погрешностей является то, что они могут быть скорректированы путем введения поправки лишь в заданный момент времени, а далее вновь непредсказуемо возрастают. Поэтому в отличие от систематических погрешностей, которые могут быть скорректированы поправкой, найденной один раз на весь срок службы прибора, прогрессирующие погрешности требуют непрерывного повторения коррекции и тем чаще, чем меньше должно быть их остаточное значение. Другая особенность прогрессирующих погрешностей состоит в том, что их изменение во времени представляет собой нестационарный случайный процесс и поэтому в рамках хорошо разработанной теории стационарных случайных процессов они могут быть описаны лишь с оговорками.
Случайная погрешность измерения
— составляющая погрешности измерений, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Значение и знак случайных погрешностей определить невозможно, они не поддаются непосредственному учету вследствие их хаотического изменения, обусловленного одновременным воздействием на результат измерения различных независимых друг от друга факторов. Обнаруживаются случайные погрешности при многократных измерениях одной и той же величины (отдельные измерения в этом случае называются наблюдением) одними и теми же средствами измерения в одинаковых условиях одним и тем же наблюдателем, т.е. при равноточных (равнорассеянных) измерениях. Влияние случайных погрешностей на результат измерения учитывается методами математической статистики и теории вероятности.
Грубые погрешности измерений -
случайные погрешности измерений, существенно превышающие ожидаемые при данных условиях погрешности.
Грубые погрешности (промахи) обычно обусловлены неправильным отсчетом по прибору, ошибкой при записи наблюдений, наличием сильно влияющей величины, неисправностью средств измерений и другими причинами. Как правило, результаты измерений, содержащие грубые погрешности, не принимаются во внимание, поэтому грубые погрешности мало влияют на точность измерения. Обнаружить промах бывает не всегда легко, особенно при единичном измерении; часто трудно бывает отличить грубую погрешность от большой по значению случайной погрешности. Если грубые погрешности встречаются часто, мы поставим под сомнение все результаты измерений. Поэтому грубые погрешности влияют на годность измерений.
В заключение описанного деления погрешностей средств и результатов измерений на случайную, прогрессирующую и систематическую составляющие необходимо обратить внимание на то, что такое деление является весьма упрощенным приемом их анализа. Поэтому всегда следует помнить, что в реальной действительности эти составляющие погрешности проявляются совместно и образуют единый нестационарный случайный процесс. Погрешность результата измерений при этом можно представить в виде суммы случайных и систематических Dс погрешностей: D = Dс +. В погрешности измерений входит случайная составляющая, поэтому её следует считать случайной величиной.
Рассмотрение характера проявления погрешностей измерений показывает, нам, что единственно правильный путь оценки погрешностей дает нам теория вероятностей и математическая статистика.
4.4. Вероятностный подход к описанию погрешностей
Законы распределения случайных погрешностей.
Случайные погрешности обнаруживают при проведении ряда измерений одной и той же величины. Результаты измерений при этом, как правило, не совпадают между собой, так как из-за суммарного воздействия множества различных факторов, не поддающихся учету, каждое новое измерение дает и новое случайное значение измеряемой величины. При правильном проведении измерений, достаточном их числе и исключении систематических погрешностей и промахов можно утверждать, что истинное значение измеряемой величины не выходит за пределы значений, полученных при этих измерениях. Оно остается неизвестным до тех пор пока не определено теоретически вероятное значение случайной погрешности.
Пусть величину А измеряли п
раз и наблюдали при этом значения а1, a2, а3,…,аi
,...,аn. Случайная абсолютная погрешность единичного измерения определяется разностью
Di = ai - A . (4.1)
Графически результаты отдельных измерений представлены на рис. 4.2.
При достаточно большом числе п
одни и те же погрешности, если они имеют ряд дискретных значений, повторяются и поэтому можно установить относительную частоту (частость) их появления, т.е. отношение числа полученных одинаковых данных mi
к общему числу проведенных измерении п.
При продолжении измерений величины А
эта частота не изменится, поэтому ее можно считать вероятностью появления погрешности при данных измерениях: p
(Ai
) =
mi
/
n
.
Статистическая зависимость вероятности появления случайных погрешностей от их значения называется законом распределе- ния погрешностей или
законом распределения вероятности
. Этот закон определяет характер появления различных результатов отдельных измерений. Различают два вида описания законов распределения: интегральный
и дифференциальный
.
Интегральным законом
, или функцией распределения вероятностей
F(D)
случайной погрешности Di в
i-м
опыте, называют функцию, значение которой для каждого Dявляется вероятностью события Р(D)
, заключающегося в том, что случайная погрешность Diпринимает значения, меньше некоторого значения D, т.е. функцию F(D) = Р[
Di <
D].
Эта функция при изменении Dот -¥ до +¥ принимает значения от 0 до 1 и является неубывающей. Она существует для всех случайных величин как дискретных, так и непрерывных (рис 4.3 а).
Если F(D)
симметрична относительно точки А,
соответствующей вероятности 0,5 , то распределение результатов наблюдения будет симметрично относительно истинного значения А.
В этом случае целесообразно F(D)
сдвинуть по оси абсцисс на значение DA, т.е. исключить систематическую составляющую погрешность (DА =
Dс)
и получить функцию распределения случайной составляющей погрешности D =
(рис. 4.3 б). Функция распределения вероятности погрешности D
отличается от функции распределения вероятности случайной составляющей погрешности только сдвигом по оси абсцисс на значение систематической составляющей погрешности Dс
.
Дифференциальным законом
распределения вероятностей
для случайной погрешности с непрерывной и дифференцируемой функцией распределения F(D)
называют функцию . Эта зависимость есть плотность распределения вероятностей.
График плотности распределения вероятностей может иметь различную форму в зависимости от закона распределения погрешностей. Для F(D)
, изображенной на рис. 4.3 б, кривая распределения f(D)
имеет форму, близкую к форме колокола (рис. 4.3 в).
Вероятность появления случайных погрешностей определяется площадью, ограниченной кривой f(D)
или её частью и осью абсцисс (рис. 4.3 в). В зависи мости от рассматриваемого интервала погрешности .
Значение f(D)
d
D
есть элемент вероятности, равный площади прямоугольника с основанием d
D и
абсциссами D1 ,
D2,
называемыми квантилями. Так как F(+
¥)=
1, то справедливо равенство ,
т.е. площадь под кривой f(D)
согласно правилу нормирования равна единице и отражает вероятность всех возможных событий.
В практике электрических измерений одним из наиболее распространенных законов распределения случайных погрешностей является нормальный закон
(Гаусса).
Математическое выражение нормального закона имеет вид
,
где f(D)
- плотность вероятности случайной погрешности D = а
i -
A
; s - среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение может быть выражено через случайные отклонения результатов наблюдений Di (см. формулу (4.1)):
.
Характер кривых, описанных этим уравнением для двух значений s, показан на рис. 4.4. Из этих кривых видно, что чем меньше s, тем чаще встречаются малые случайные погрешности, т.е. тем точнее выполнены измерения. В практике измерений встречаются и другие законы распределения, которые могут быть установлены на основании статистической обработки
опытных данных. Некоторые из наиболее часто встречающихся законов распределения приведены в ГОСТ 8.011-84 «Показатели точности измерений и формы представления результатов измерений».
Основными характеристи- ками законов распределения являются математическое ожидание
и дисперсия
.
Математическое ожидание случайной величины
- это такое ее значение, вокруг которого группируются результаты отдельных наблюдений. Мате-матическое ожидание дискрет-ной случайной величины М[X]
определяется как сумма произ-ведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений .
Для непрерывных случайных величин приходится прибегать к интегрированию, для чего необходимо знать зависимость плотности вероятности от х,
т. е. f(х),
где х=
D.
Тогда.
Это выражение означает, что математическое ожидание равно сумме бесконечно большого числа произведений всех возможных значений случайной величины х
на бесконечно малые площади f(х)
dх,
где f(х) —
ординаты для каждого х,
a dх -
элементарные отрезки оси абсцисс.
Если наблюдается нормальное распределение случайных погрешностей, то математическое ожидание случайной погрешности равно нулю (рис. 4.4). Если же рассматривать нормальное распределение результатов, то математическое ожидание будет соответствовать истинному значению измеряемой величины, которое мы обозначаем через A.
Систематическая погрешность при этом представляет собой отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения А
измеряемой величины: Dс = М[
X] -
A
, а случайная погрешность - разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием: .
Дисперсия ряда наблюдений характеризует степень рассеивания (разброса) результатов отдельных наблюдений вокруг математического ожидания:
D[
X] =
Dx=
M[(ai -
mx)2].
Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных результатов, тем точнее выполнены измерения. Однако дисперсия выражается в единицах в квадрате измеряемой величины. Поэтому в качестве характеристики точности ряда наблюдений наиболее часто применяют среднее квадратическое отклонение (СКО), равное корню квадратному из дисперсии: .
Рассмотренное нормальное распределение случайных величин, в том числе и случайных погрешностей, является теоретическим, поэтому описанное нормальное распределение следует рассматривать как «идеальное», т. е. как теоретическую основу для изучения случайных погрешностей и их влияния на результат измерений.
Далее излагаются способы применения этого распределения на практике с той или иной степенью приближения. Рассматривается также еще одно распределение (распределение Стьюдента), применяемое при небольших количествах наблюдений.
Оценки погрешностей результатов прямых измерений.
Пусть было проведено п
прямых измерений одной и той же величины. В общем случае в каждом из актов измерений погрешность будет разной:
D
i =
ai -
A,
где Di - погрешность i-го измерения; ai -
результат i-го измерения.
Поскольку истинное значение измеряемой величины A
неизвестно, непосредственно случайную абсолютную погрешность вычислить нельзя. При практических расчетах приходится вместо A
использовать его оценку. Обычно принимают, что истинное значение равно среднему арифметическому значению ряда измерений:
. (4.2)
где а
i -
результаты отдельных измерений; п —
число измерений.
Теперь аналогично выражению (4.1) можно определить отклонение результата каждого измерения от среднего значения :
(4.3)
где v
i
- отклонение результата единичного измерения от среднего значения. Следует помнить, что сумма отклонений результата измерений от среднего значения равна нулю, а сумма их квадратов минимальна, т. е.
и min.
Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля правильности вычислений.
Затем вычисляют оценку значения средней квадратической погрешности
для данного ряда измерений
. (4.4)
Согласно теории вероятностей при достаточно большом числе измерений, имеющих независимые случайные погрешности, оценка S
сходится по вероятности к s.
Таким образом,
. (4.5)
Ввиду того что среднее арифметическое значение
также является случайной величиной, имеет смысл понятие среднеквадратического отклонения среднего арифметического значения. Эту величину обозначим символом sср. Можно показать, что для независимых погрешностей
. (4.6)
Значение sср характеризует степень разброса .
Как указывалось выше,
выступает оценкой истинного значения измеряемой величины, т.е. является конечным результатом выполняемых измерений. Поэтому sср называют также средней квадратической погрешностью результата измерений.
На практике значением s, вычисляемым по формуле (4.5), пользуются в том случае, если необходимо дать характеристику точности применяемого метода измерения: если метод точен, то разброс результатов отдельных измерений мал, т.е. мало значение s.
Значение же sср ,
вычисляемое по (4.6), используется для характеристики точности результата измерений некоторой величины, т.е. результата, полученного посредством математической обработки итогов целого ряда отдельных прямых измерений.
При оценке результатов измерений иногда пользуются понятием максимальной
или предельной допустимой погрешности,
значение которой определяют в долях s или S . В настоящее время существуют разные критерии установления максимальной погрешности, т. е. границы поля допуска ±D, в которые случайные погрешности должны уложиться. Общепринятым пока является определение максимальной погрешности D = 3s (или 3S
). В последнее время на основании информационной теории измерений профессор П. В. Новицкий рекомендует пользоваться значением D = 2s.
Введем теперь важные понятия доверительной вероятности
и доверительного интервала.
Как указывалось выше, среднее арифметическое значение ,
полученное в результате некоторого ряда измерений, является оценкой истинного значения А
и, как правило, не совпадает с ним, а отличается на значение погрешности. Пусть Рд
есть вероятность того, что
отличается от А
не более чем на D, т.е. Р(-
D
<
А
<
+
D
)=Рд
. Вероятность Рд
называется доверительной вероятностью,
а интервал значений измеряемой величины от -
D до +
D - доверительным интервалом.
Приведенные выше неравенства означают, что с вероятностью Рд
доверительный интервал от -
D до +
D заключает в себе истинное значение А
. Таким образом, чтобы характеризовать случайную погрешность достаточно полно, надо располагать двумя числами — доверительной вероятностью и соответствующим ей доверительным интервалом. Если закон распределения вероятностей погрешностей известен, то по заданной доверительной вероятности можно определить доверительный интервал. В частности, при достаточно большом числе измерений часто бывает оправданным использование нормального закона, в то время как при небольшом числе измерений (п <
20), результаты которых принадлежат нормальному распределению, следует пользоваться распределением Стьюдента. Это распределение имеет плотность вероятностей, практически совпадающую с нормальной при больших п,
но значительно отличающуюся от нормальной при малых п.
В табл. 4.1 приведены так называемые квантили распределения Стьюдента ½t(n)
½Рд
для числа измерений п
= 2 - 20 и доверительных вероятностей Р
= 0,5 - 0,999.
Укажем, однако, что обычно таблицы распределения Стьюдента приводятся не для значений п
и Рд,
а для значений m =
n-1
иa =1 - Рд,
что следует учитывать при пользовании ими. Чтобы определить доверительный интервал, надо для данных п
и Рд
найти квантиль ½t(n)
½Рд и вычислить величины Ан
=
-
sср
×
½t(n)
½РдиАв
=
+
sср
×
½t(n)
½Рд, которые будут являться нижней и верхней границами доверительного интервала.
После нахождения доверительных интервалов для заданной доверительной вероятности согласно выше приведенной методике делают запись результата измерения в виде ;
D =
Dн
¸
Dв; Рд
,
где
- оценка истинного значения результата измерения в единицах измеряемой величины; D - погрешность измерения; Dв = +sср
×
½t(n)
½Рд и Dн = -sср
×
½t(n)
½Рд - верхняя и нижняя границы погрешности измерения; Рд - доверительная вероятность
.
Таблица 4.1
Значения квантилей распределения Стьюдента t(n) при доверительнойвероятности Рд |
||||||||||
Оценка погрешностей результатов косвенных измерений.
При косвенных измерениях искомая величина А
функционально связана с одной или несколькими непосредственно измеряемыми величинами: х,
y
,...,
t
.
Рассмотрим простейший случай определения погрешности при одной переменной, когда A
=
F
(x
).
Обозначив абсолютную погрешность измерения величины х
через ±Dx , получим A+
DA
= F(x±
Dx).
Разложив правую часть этого равенства в ряд Тейлора и пренебрегая членами разложения, содержащими Dх в степени выше первой, получим
A+DA » F(x) ± Dx или DA » ± Dx.
Относительная ошибка измерения функции определится из выражения
.
Если измеряемая величина А
является функцией нескольких переменных: A=
F(x,
y,...,
t),
то абсолютная погрешность результата косвенных измерений
.
Частные относительные погрешности косвенного измерения определяются по формулам ; и т. д. Относительная погрешность результата измерений
.
Остановимся также на особенностях оценки результата косвенного измерения при наличии случайной погрешности.
Для оценки случайной погрешности результатов косвенных измерений величины А
будем полагать, что систематические погрешности измерений величин x, y,…, t
исключены, а случайные погрешности измерения этих же величин не зависят друг от друга.
При косвенных измерениях значение измеряемой величины находят по формуле ,
где - средние или средние взвешенные значения величин x, y,…, t .
Для вычисления среднего квадратического отклонения значения измеряемой величины А
целесообразно использовать средние квадратические отклонения, полученные при измерениях x, y,…, t .
В общем виде для определения среднего квадратического отклонения s косвенного измерения служит следующая формула:
, (4.7)
где Dx ;
Dy ;…;
Dt —
так называемые частные погрешности косвенного измерения ; ; …; ; ; ; … ; —
частные производные А
по x, y,…, t ;
sx
; s
y ,…,
st , …—
средние квадратические отклонения результатов измерений величин x, y,…, t .
Рассмотрим некоторые частные случаи применения уравнения (4.7), когда функциональная зависимость между косвенно и непосредственно измеряемыми величинами выражается формулой A =
k
×
x
a
×
y
b
×
z
g ,
где k -
числовой коэффициент (безразмерный).
В этом случае формула (4.7) примет следующий вид:
.
Если a =
b =
g = 1
и A =
k
×
x
×
y
×
z,
то формула относительной погрешности упрощается до вида .
Эта формула применима, например, для вычисления среднего квадратического отклонения результата измерения объема по результатам измерения высоты, ширины и глубины резервуара, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда.
4.5. Правила суммирования случайных и систематических погрешностей
Погрешность сложных измерительных приборов зависит от погрешностей отдельных его узлов (блоков). Погрешности суммируются по определенным правилам.
Пусть, например, измерительный прибор состоит из m
блоков, каждый из которых обладает независимыми друг от друга случайными погрешностями. При этом известны абсолютные значения средних квадратических sk или максимальных М
k
погрешностей каждого блока.
Арифметическое суммирование или дает максимальную погрешность прибора, которая имеет ничтожно малую вероятность и поэтому редко используется для оценки точности работы прибора в целом. Согласно теории ошибок результирующая погрешность sрез и Мрез
определяется сложением по квадратическому закону или .
Аналогично определяется и результирующая относительная погрешность измерения: . (4.8)
Уравнение (4.8) можно использовать для определения допустимых погрешностей отдельных блоков разрабатываемых приборов с заданной общей погрешностью измерения. При конструировании прибора обычно задаются равными погрешностями для отдельных входящих в него блоков. Если существует несколько источников погрешностей, которые на конечный результат измерения влияют неодинаково (или прибор состоит из нескольких блоков с разными погрешностями), в формулу (4.8) следует ввести весовые коэффициенты ki
:
, (4.9)
где d1, d2, … , dm — относительные погрешности отдельных узлов (блоков) измерительного прибора; k1,
k2, … ,
km
- коэффициенты, учитывающие степень влияния случайной погрешности данного блока на результат измерения.
При наличии у измерительного прибора (или его блоков) также и систематических погрешностей общая погрешность определяется их суммой:. Такой же подход справедлив и для большего числа составляющих.
При оценке влияния частных погрешностей следует учитывать, что точность измерений в основном зависит от погрешностей, больших по абсолютной величине, а некоторые наименьшие погрешности можно вообще не учитывать. Частная погрешность оценивается на основании так называемого критерия ничтожной погрешности,
который заключается в следующем. Допустим, что суммарная погрешность dрез определена по формуле (4.8) с учетом всех m
частных погрешностей, среди которых некоторая погрешность di имеет малое значение. Если суммарная погрешность d¢рез, вычисленная без учета погрешности di, отличается от dрез не более чем на 5 %, т.е. dрез-d¢рез< 0,05×dрез или 0,95×dрез
4.6. Формы представления результатов измерения
Результат измерения имеет ценность лишь тогда, когда можно оценить его интервал неопределенности, т.е. степень достоверности. Поэтому результат измерений должен содержать значение измеряемой величины и характеристики точности этого значения, которыми являются систематические и случайные погрешности. Количественные показатели погрешностей, способы их выражения, а также формы представления результатов измерений регламентируются ГОСТ 8.011-72 «Показатели точности измерений и формы представления результатов измерений». Рассмотрим основные формы представления результатов измерений.
Погрешность результата прямого однократного измерения зависит от многих факторов, но в первую очередь определяется погрешностью используемых средств измерений. Поэтому в первом приближении погрешность результата измерения можно принять равной
погрешности, которой в данной точке диапазона измерений характеризуется используемое средство измерений.
Погрешности средств измерений изменяются в диапазоне измерений. Поэтому в каждом случае, для каждого измерения необходимо произвести вычисления погрешности результата измерений, используя формулы (3.19) - (3.21) нормирования погрешности соответствующего средства измерений. Вычисляться должна как абсолютная, так и относительная погрешности результата измерения, так как первая из них нужна для округления результата и его правильной записи, а вторая — для однозначной сравнительной характеристики его точности.
Для разных характеристик нормирования погрешностей СИ эти вычисления производятся по-разному, поэтому рассмотрим три характерных случая.
1. Класс прибора указан в виде одного числа q,
заключенного в кружок. Тогда относительная погрешность результата (в процентах) g = q,
а абсолютная его погрешность Dх =
q
×
x/
100.
2. Класс прибора указан одним числом p
(без кружка). Тогда абсолютная погрешность результата измерения Dх =
p
×
xk /
100, где x
k
— предел измерения, на котором оно производилось, а относительная погрешность измерения (в процентах) находится по формуле ,
т е. в этом случае при измерении, кроме отсчета измеряемой величины х
обязательно должен быть зафиксирован и предел измерений x
k ,
иначе впоследствии нельзя будет вычислить погрешность результата.
3. Класс прибора указан двумя числами в виде c/d
. В этом случае удобнее вычислить относительную погрешность d
результата по формуле (3.21), а уже затем найти абсолютную погрешность как D
x =
d
×
x/100
.
После проведения вычислений погрешности используют одну из форм представления результата измерений в следующем виде: х;
±
D
и d
, где х
- измеренное значение; D
- абсолютная погрешность измерения; d
-относительная погрешность измерения. Например, производится следующая запись: «Измерение произведено с относительной погрешностью d
= … %. Измеренное значение х = (А
±
D)
, где А
- результат измерений».
Однако более наглядно указать пределы интервала неопределенности измеряемой величины в виде: x = (A-
D)
¸(A+
D)
или (A-
D)
< х
< (A+
D)
с указанием единиц измерения.
Другая форма представления результата измерения устанавливается в следующем виде: х
; D
от Dн
доDв; Р,
где х
- результат измерения в единицах измеряемой величины; D ,
Dн,
Dв
- соответственно погрешность измерения с нижней и верхней её границами в тех же единицах; Р
- вероятность, с которой погрешность измерения находится в этих границах.
ГОСТ 8.011-72 допускает и другие формы представления результатов измерения, отличающиеся от приведенных форм тем, что в них указывают раздельно характеристики систематической и случайной составляющих погрешности измерения. При этом для систематической погрешности указывают её вероятностные характеристики. В этом случае основными характеристиками систематической погрешности являются математическое ожидание М[
Dхс
], среднеквадратическое отклонение s[Dхс
] и ее доверительный интервал. Выделение систематической и случайной составляющих погрешности целесообразно, если результат измерения будет использован при дальнейшей обработке данных, например, при определении результата косвенных измерений и оценке его точности, при суммировании погрешностей и т. п.
Любая из форм представления результата измерения, предусмотренная ГОСТ 8.011-72, должна содержать необходимые данные, на основании которых может быть определен доверительный интервал для погрешности результата измерения. В общем случае доверительный интервал может быть установлен, если известны вид закона распределения погрешности и основные числовые характеристики этого закона.