Качение без скольжения. Трение качения
> Качение без скольжения
Рассмотрите движение без проскальзывания . Читайте про роль угловой и линейной скорости, как действуют поступательное и вращательное движения, формулы.
Качение без скольжения можно распределить на вращательное и поступательное движения.
Задача обучения
- Научиться отличать два разных движения, где качение осуществляется без скольжения.
Основные пункты
- В качении без скольжения разобраться намного проще, если вы разобьете его на поступательное и вращательное движения.
- Когда объект катится по плоскости без скольжения, то точка контакта между ними не смещается.
- Скорость v скользящего объекта напрямую связана с угловой скоростью ω. Математически выражается как v = ωR, (R – радиус объекта, а v – линейная скорость).
Термины
- Угловая скорость – векторная величина, характеризующая перемещение тела в круговом движении. Приравнивается к угловой скорости и направлена перпендикулярно плоскости.
- Линейная скорость – векторная величина, отображающая скорость изменения позиции по времени центра масс.
Если с самого начала объект переворачивается без буксирования, то можно говорить о качении без проскальзывания. Чтобы разобраться, давайте рассмотрим пример с колесом на плоской горизонтальной поверхности.
Движение без проскальзывания понять намного проще, если выделить в нем движение центра масс с линейной скоростью v и вращательное движение вокруг центра с угловой скоростью w.
Движение качения отображает комбинацию вращательного и поступательного движений
Когда объект катится по плоскости без скольжения, точка контакта не смещается. Если представим, что колесо движется со скоростью v, то заметно, что оно должно также совершать движение вокруг своей оси с угловой скоростью ω.
Угловая скорость тела (ω) расположена прямо пропорционально скорости движения. Вы ведь могли заметить: чем быстрее разогналась машина, тем больше оборотов совершают колеса. Чтобы вычислить точную связь между линейной и угловой скоростями, можно взять случай, где колесо смещается на дистанцию х при повороте на углу θ.
Тело, скатывающееся на дистанцию х на плоскости, лишенной скольжения
В математике длина дуги приравнивается к углу сегмента, умноженному на радиус объекта (R). Отсюда выходит, что длина дуги колеса, повернутого на θ, достигает Rθ. Так как колесо постоянно контактирует с поверхностью, длина дуги также равна х. Выходит:
Не забывайте, что х и θ зависят от времени, поэтому возьмем их производные:
Здесь аналогичен v в линейной скорости, а – угловой скорости ω. Теперь можно все упростить:
Количество вращательной кинематики | |||||
Угловое ускорение | |||||
Вращательная кинематика | |||||
Динамика | |||||
Вращательная кинетическая энергия | |||||
Сохранение углового момента | |||||
Векторная природа вращательной кинематики | |||||
Решение проблем | |||||
Линейные и вращательные величины | |||||
Сохранение энергии |
Трение - физическое явление, с которым человек борется с целью его уменьшения в любых вращающихся и скользящих частях механизмов, без которого, однако, невозможно движение ни одного из этих механизмов. В данной статье рассмотрим с точки зрения физики, что такое сила
Какие виды сил трения существуют в природе?
В первую очередь рассмотрим, какое место трение качения занимает среди других сил трения. Эти силы возникают в результате контакта двух разных тел. Это могут быть тела твердые, жидкие или газообразные. Например, полет самолета в тропосфере сопровождается наличием трения между его корпусом и молекулами воздуха.
Рассматривая исключительно твердые тела, выделяют силы трения покоя, скольжения и качения. Каждый из нас замечал: чтобы сдвинуть с места коробок, находящийся на полу, необходимо вдоль поверхности пола приложить некоторую силу. Значение силы, которое выведет коробок из состояния покоя, будет по модулю равно силе трения покоя. Последняя действует между дном коробка и поверхностью пола.
Как только коробок начал свое движение, необходимо прилагать постоянную силу, чтобы сохранять это движение равномерным. Связан этот факт с тем, что между контактом пола и коробком на последний действует сила трения скольжения. Как правило, она на несколько десятков процентов меньше, чем трение покоя.
Если под коробок положить круглые цилиндры из твердого материала, то перемещать его станет гораздо легче. На вращающиеся в процессе движения цилиндры под коробком будет действовать сила Она обычно намного меньше предыдущих двух сил. Именно поэтому изобретение человечеством колеса стало огромным скачком в сторону прогресса, ведь люди получили возможность перемещать гораздо большие грузы с помощью небольшой приложенной силы.
Физическая природа трения качения
Почему возникает сила трения качения? Этот вопрос является непростым. Для ответа на него следует детально рассмотреть, что происходит с колесом и поверхностью в процессе качения. В первую очередь они не являются идеально гладкими - ни поверхность колеса, ни поверхность, по которой оно катится. Тем не менее это не основная причина появления трения. Главной же причиной является деформация одного или обоих тел.
Любые тела, из какого бы твердого материала они ни состояли, деформируются. Чем больше вес тела, тем большее давление оно оказывает на поверхность, а значит, деформируется само в точке контакта и деформирует поверхность. Эта деформация в ряде случаев настолько мала, что не превышает предела упругости.
В процессе качения колеса деформированные участки после прекращения контакта с поверхностью восстанавливают исходную форму. Тем не менее эти деформации циклически повторяются с новым оборотом колеса. Любая циклическая деформация, даже если она лежит в пределе упругости, сопровождается гистерезисом. Иными словами, на микроскопическом уровне форма тела до и после деформации отличается. Гистерезис циклов деформации в процессе качения колеса приводит к "распылению" энергии, что проявляется на практике в виде появления силы трения качения.
Качение идеального тела
Под идеальным телом в данном случае имеется в виду то, что оно является недеформируемым. В случае идеального колеса площадь его контакта с поверхностью равна нулю (оно касается поверхности вдоль линии).
Охарактеризуем силы, которые действуют на недеформируемое колесо. Во-первых, это две вертикальные силы: вес тела P и N. Обе силы проходят через центр масс (ось колеса), поэтому в создании крутящего момента не принимают участия. Для них можно записать:
Во-вторых, это две горизонтальные силы: внешняя сила F, которая толкает колесо вперед (она проходит через центр масс), и сила трения качения f r . Последняя создает крутящий момент M. Для них можно записать такие равенства:
Здесь r - радиус колеса. Эти равенства содержат очень важный вывод. Если сила трения f r будет бесконечно малой, то она все равно создаст крутящий момент, который приведет к движению колеса. Поскольку внешняя сила F равна величине f r , то любое бесконечно малое значение F приведет к качению колеса. Это означает, что если тело качения является идеальным и не испытывает деформации в процессе движения, то ни о какой силе трения качения говорить не приходится.
Все существующие тела являются реальными, то есть испытывают деформацию.
Качение реального тела
Теперь рассмотрим описанную выше ситуацию только для случая реальных (деформируемых) тел. Площадь касания колеса и поверхности уже не будет равна нулю, она будет иметь некоторое конечное значение.
Проведем анализ сил. Начнем с действия вертикальных сил, то есть веса и реакции опоры. Они по-прежнему равны друг другу, то есть:
Однако сила N теперь действует вертикально вверх не через ось колеса, а несколько смещена от нее на расстояние d. Если представить площадь соприкосновения колеса с поверхностью в виде площади прямоугольника, то длиной этого прямоугольника будет толщина колеса, а ширина будет равна 2*d.
Теперь перейдем к рассмотрению горизонтальных сил. Внешняя сила F по-прежнему не создает момента вращения и равна силе трения f r по абсолютной величине, то есть:
Момент сил, приводящий к вращению, будет создавать трение f r и реакцию опоры N. Причем эти моменты будут направлены в разные стороны. Соответствующее выражение имеет вид:
В случае равномерного движения момент M будет равен нулю, поэтому получаем:
Последнее равенство с учетом записанных выше формул можно переписать так:
По сути, мы получили главную для понимания силы трения качения формулу. Далее в статье проведем ее анализ.
Коэффициент сопротивления качению
Этот коэффициент уже был введен выше. Также было дано геометрическое его объяснение. Речь идет о величине d. Очевидно, что чем больше эта величина, тем больший момент создает сила реакции опоры, который препятствует движению колеса.
Коэффициент сопротивления качению d, в отличие от коэффициентов трения покоя и скольжения, - величина размерная. Измеряется он в единицах длины. В таблицах его приводят обычно в миллиметрах. Например, для колес поезда, катящихся по стальным рельсам, d = 0,5 мм. Величина d зависит от твердости двух материалов, от нагрузки на колесо, от температуры и некоторых других факторов.
Коэффициент трения качения
Не нужно его путать с предыдущим коэффициентом d. Коэффициент трения качения обозначают символом C r и вычисляют по следующей формуле:
Это равенство означает, что величина C r является безразмерной. Именно она приводится в ряде таблиц, содержащих информацию о рассматриваемом виде трения. Этот коэффициент удобно использовать для практических расчетов, поскольку он не предполагает знания радиуса колеса.
Величина C r в подавляющем большинстве случаев меньше, чем коэффициенты трения и покоя. Например, для автомобильных шин, движущихся по асфальту, величина C r находится в пределах нескольких сотых (0,01 - 0,06). Однако она значительно возрастает при движении спущенных колес по траве и по песку (≈0,4).
Анализ полученной формулы для силы fr
Запишем еще раз полученную выше формулу силы трения качения:
Из равенства следует, что чем больше диаметр колеса, тем меньшую силу F следует приложить, чтобы оно начало движение. Теперь запишем это равенство через коэффициент C r , имеем:
Как видно, сила трения прямо пропорциональна весу тела. Кроме того, при значительном увеличении веса P изменяется сам коэффициент C r (он возрастает в виду увеличения d). В большинстве практических случаев C r лежит в пределах нескольких сотых. В свою очередь, значение коэффициента трения скольжения лежит в пределах нескольких десятых. Поскольку для сил трения качения и скольжения формулы одинаковые, то качение оказывается выгодным с энергетической точки зрения (сила f r меньше на порядок силы скольжения в большинстве практических ситуаций).
Условие качения
Многие из нас встречались с проблемой проскальзывания колес автомобиля при движении по льду или по грязи. Почему это происходит? Ключ к ответу на этот вопрос лежит в соотношении абсолютных значений сил трения качения и покоя. Еще раз выпишем формулу для качения:
Когда сила F будет больше или равна трению качения, тогда колесо начнет катиться. Однако если эта сила раньше превзойдет величину трения покоя, то раньше наступит проскальзывание колеса, чем его качение.
Таким образом, эффект проскальзывания определяется соотношением коэффициентов трения покоя и трения качения.
Способы противодействия проскальзыванию колеса автомобиля
Трение качения колеса автомобиля, находящегося на скользкой поверхности (например, на льду) характеризуется коэффициентом C r = 0,01-0,06. Однако значения такого же порядка характерны для коэффициента трения покоя.
Чтобы избежать риска проскальзывания колеса, используют специальную "зимнюю" резину, в которую вкручены металлические шипы. Последние, врезаясь в ледяную поверхность, увеличивают коэффициент трения покоя.
Другой способ увеличение трения покоя заключается в модификации поверхности, по которой движется колесо. Например, с помощью посыпания ее песком или солью.
Если рассматриваемое тело имеет форму катка и под действием приложенных активных сил может катиться по поверхности другого тела, то из-за деформации поверхностей этих тел в месте соприкосновения могут возникнуть силы реакции, препятствующие не только скольжению, но и качению. Примерами таких катков являются различные колеса, как, например, у электровозов, вагонов, автомашин, шарики и ролики в шариковых и роликовых подшипниках и т.п.
Пусть цилиндрический каток находится на горизонтальной плоскости под действием активных сил. Соприкосновение катка с плоскостью из-за деформации фактически происходит не вдоль одной образующей, как в случае абсолютно твердых тел, а по некоторой площадке. Если активные силы приложены симметрично относительно среднего сечения катка, то есть вызывают одинаковые деформации вдоль всей его образующей, то можно изучать только одно среднее сечение катка. Этот случай рассмотрен ниже.
Между катком и плоскостью, на которой он покоится, возникают силы трения, если приложить к оси катка силу (рис. 7.5), стремящуюся его двигать по плоскости.
Рассмотрим случай, когда сила параллельна горизонтальной плоскости. Из опыта известно, что при изменении модуля силы от нуля до некоторого предельного значения каток остается в покое, т.е. силы, действующие на каток, уравновешиваются. Кроме активных сил (веса и силы ), к катку, равновесие которого рассматривается, приложена реакция плоскости. Из условия равновесия трех непараллельных сил следует, что реакция плоскости должна проходить через центр катка О , так как две другие силы приложены к этой точке.
Следовательно, точка приложения реакции С должна быть смещена на некоторое расстояние от вертикали, проходящей через центр колеса, иначе реакция не будет иметь горизонтальной составляющей, необходимой для удовлетворения условий равновесия. Разложим реакцию плоскости на две составляющие: нормальную составляющую и касательную реакцию , являющуюся силой трения (рис. 7.6).
В предельном положении равновесия катка к нему будут приложены две взаимно уравновешивающиеся пары: одна пара сил (, ) с моментом (где r – радиус катка) и вторая пара сил ( , ), удерживающая каток в равновесии.
Момент пары, называемой моментом трения качения , определяется формулой:
из которой следует, что для того, чтобы имело место чистое качение (без скольжения), необходимо, чтобы сила трения качения была меньше максимальной силы трения скольжения:
, |
где f – коэффициент трения скольжения.
Таким образом, чистое качение (без скольжения) будет, если .
Трение качения возникает из-за деформации катка и плоскости, вследствие чего соприкосновение между катком и плоскостью происходит по некоторой поверхности, смещенной от нижней точки катка в сторону возможного движения.
Если сила не направлена по горизонтали, то ее следует разложить на две составляющие, направленные по горизонтали и вертикали. Вертикальную составляющую следует сложить с силой , и мы снова приходим к схеме действия сил, изображенных на рис. 7.6.
Установлены следующие приближенные законы для наибольшего момента пары сил, препятствующей качению:
1. Наибольший момент пары сил, препятствующий качению, в довольно широких пределах не зависит от радиуса катка.
2. Предельное значение момента пропорционально нормальному давлению и равной ему нормальной реакции : .
Коэффициент пропорциональности d называют коэффициентом трения качения при покое или коэффициентом трения второго рода . Коэффициент d имеет размерность длины.
3. Коэффициент трения качения d зависит от материала катка, плоскости и физического состояния их поверхностей. Коэффициент трения при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости. Для случая качения вагонного колеса по стальному рельсу коэффициент трения качения .
Законы трения качения, как и законы трения скольжения, справедливы для не очень больших нормальных давлений и не слишком легко деформирующихся материалов катка и плоскости.
Эти законы позволяют не рассматривать деформации катка и плоскости, считая их абсолютно твердыми телами, касающимися в одной точке. В этой точке соприкосновения кроме нормальной реакции и силы трения надо приложить еще и пару сил, препятствующую качению.
Для того, чтобы каток не скользил, необходимо выполнение условия
Для того чтобы каток не катился, должно выполняться условие
. |
Почему вода и воздух оказывают , более или менее понятно - их приходится расталкивать, чтобы проложить дорогу. Но почему так трудно тянуть гужевые сани или катить тележку? Ведь спереди им ничего не мешает, спереди у них ничего, кроме воздуха нет, воздух для медленно движущихся предметов не помеха, а двигать все-таки трудно - снизу что-то мешает. Это «что-то» называют силами трение скольжения и трение качения .
Сущность трения скольжения и качения
Разгадка сущности трения скольжения и качения пришла не сразу. Ученым пришлось потрудиться, чтобы понять, в чем тут дело, и они едва не встали на ложный путь. Раньше, когда спрашивали, что такое трение, отвечали так:- Посмотрите на свои подметки! Давно ли они были новые и крепкие, а сейчас уже заметно сносились, стали потоньше.Были проведены опыты, которые показали, что аккуратный человек может сделать по хорошей дороге примерно миллион шагов, прежде чем его подметки проносятся насквозь. Конечно, если они из прочной, хорошей кожи. Посмотрите на ступени лестниц в каком-либо старом здании, в магазине или в театре - словом, там, где бывает много народу. В тех местах, куда люди ступают чаще, в камне образовались углубления: шаги сотен тысяч людей стерли камень . Каждый шаг чуть-чуть разрушал его поверхность, и камень стирался, превращаясь в пыль. От трения скольжения снашиваются и подметки, и поверхность пола, по которому мы ходим. От трения качения стираются рельсы железных дорог и трамвайных путей. Постепенно исчезает, превращается в пыль асфальт шоссейных дорог - его стирают колеса автомобилей. Резиновые шины тоже расходуются, как и резинки, которыми стирают написанное карандашом.
Неровности и шероховатости
Поверхность каждого твердого тела всегда имеет неровности и шероховатости . Зачастую они совершенно незаметны на глаз. Поверхности рельсов или полозьев саней кажутся очень гладкими и блестящими, но если посмотреть на них в микроскоп, то при большом увеличении будут видны бугры и целые горы. Так выглядят мельчайшие неровности на «гладкой» поверхности.Неровности и шероховатости полозьев саней - причина трения качения и скольжения движущегося тела. Такие же микроскопические «Альпы» и «Карпаты» существуют и на стальном ободе колеса. Когда колесо катится по рельсам, неровности его поверхности и рельса цепляются друг за друга, происходит постепенное разрушение трущихся предметов, а движение замедляется. Ничто в мире само собой не делается, и, чтобы производить даже ничтожнейшее разрушение поверхности стального рельса, приходится затрачивать некоторое усилие. Трение скольжения и трение качения потому и тормозит всякое движущееся тело, что ему приходится расходовать часть своей энергии на разрушение своей же поверхности . Чтобы уменьшить износ трущихся поверхностей, их стараются делать как можно ровнее, как можно глаже, так, чтобы на них оставалось поменьше всяких шероховатостей. Одно время думали, что единственной причиной трения качения и скольжения является шероховатость поверхности. Казалось, что трение можно совсем уничтожить, если хорошенько отшлифовать и отполировать трущиеся поверхности. Но, как выяснилось на основании весьма искусно сделанных опытов, победить трение качения и скольжения не так-то просто.
Динамометр покажет силу трения скольжения
При воспроизведении опытов Кулона, (подробнее: ) с трением покоя взяли стальную плиту и стальной брусок, по форме похожий на кирпич, но только не такой большой. Он прижимался к поверхности плиты силой своего веса. К бруску был приделан крючок. За крючок зацепили пружинные весы - динамометр и, потянув за кольцо динамометра, стали двигать брусок по плите. Динамометр показывал силу тяги. Если тянуть за динамометр так, чтобы брусок двигался совершенно равномерно и прямолинейно, сила тяги будет в точности равна силе трения. Динамометр покажет величину силы трения скольжения . Она будет несколько меньше силы , определенной Кулоном. Но при малых скоростях скольжения эти силы можно считать равными . Так и делали: протягивали бруски по плите с определенной небольшой скоростью и замечали показания динамометра.Динамометр - показывает силу трения скольжения. Потом стали шлифовать и полировать трущиеся поверхности плиты и бруска и время от времени измеряли, как изменяется сила трения от такой обработки. Сначала все шло так, как предполагали: чем глаже и ровнее становились трущиеся поверхности, тем слабее сказывалась сила трения скольжения. Исследователи уже подумывали, что они вскоре добьются того, что трение исчезнет совсем. Но не тут-то было! Когда полированные поверхности заблестели, как зеркальные, силы трения стали заметно возрастать. Хорошо отполированные металлические поверхности проявили склонность слипаться. Это доказало, что силы трения скольжения - не только следствие шероховатости трущихся поверхностей , но и результат действия молекулярных сил сцепления , присущих всем веществам,- тех самых сил, которые действуют между мельчайшими частицами вещества, заставляя их прижиматься друг к другу, заставляя твердые тела сохранять свою форму, масло - приставать к металлу, клей - клеить, смолу - липнуть, ртуть - скатываться в шарики. Эти силы сцепления между частичками вещества получили название молекулярных сил .
Качение тел по плоской поверхности -- весьма распространенный вид механического движения. Однако, решение конкретных задач, связанных с качением тел, как правило, вызывает затруднения, которые можно было бы, в значительной степени, избежать, если в самом начале изучения этой темы более четко определить понятие силы трения качения. Дело в том, что при качении тел приходится иметь дело с тремя различными видами сил трения: силой трения покоя (у некоторых авторов "сцепления"), трения скольжения и трения качения (в узком собственном смысле). Только с последними двумя силами связана диссипация механической энергии (т.е. превращение механической энергии в тепло). Сила трения покоя, хотя и играет роль в динамике движения, механической работы не совершает. Привычка, или сложившийся стереотип решения задач, связанные с заменой распределенной по поверхности силы ее равнодействующей с определенной точкой приложения, приводят в случае трения качения к ряду "парадоксов", которых можно избежать, отказавшись от однозначности в трактовке этой силы. Ряд авторов классических учебников по физике для вузов, как правило, избегают рассмотрения этого вопроса. Полагая, что силы трения качения в обычных условиях невелики авторы учебников и задачников при рассмотрении задач на качение тел с проскальзыванием и без него, как правило, ограничиваются замечанием о том, что силами трения качения можно пренебречь, не оценивая значимость такого упрощения. Действительно, такой подход позволяет решить ряд задач достаточно просто и эффектно. При этом в ряде случаев используется закон сохранения механической энергии. Однако, несложный анализ обнаруживает, что при вынужденном качении тел по горизонтальной поверхности сила трения покоя может быть направлена в любую сторону и может даже обратиться в нуль, что для сил трения качения в узком смысле невозможно. В этой ситуации даже возникает вопрос: по сравнению с какой силой можно пренебречь силой трения качения? Задача о вынужденном качении достаточно поучительна и ее решение мы здесь обсудим. Цилиндр массы и радиуса находится на горизонтальной шероховатой поверхности. На цилиндре имеется шкив радиуса На шкив наматывается нить, которую тянут за конец с постоянной силой Исследуем зависимость силы трения покоя от радиуса шкива и выясним условия, при которых качение будет происходить со скольжением. Силы трения качения в узком смысле будем, как это и принято, считать пренебрежимо малыми.
Рис. . Вынужденное качение цилиндра. | Рис. . График зависимости силы трения качения на площадке контакта от точки приложения внешней силы. |
Силы, действующие на цилиндр изображены на рис. . Записав уравнение поступательного и вращательного движения в отсутствие проскальзывания:
Получаем выражение для силы трения покоя:
График полученной зависимости представлен на рис. . Скольжения не будет, пока ( -- коэффициент трения), т.е. при
Если силу приложить на расстоянии от центра, скольжения не будет при любом сколь угодно малом коэффициенте трения. При приложении силы вблизи центра катящегося тела, возникающая сила трения покоя, практически, равна по модулю и противоположна по направлению приложенной внешней силе. Если же внешнюю силу приложить на расстоянии от центра катящегося цилиндра, сила трения покоя будет направлена в ту же сторону, что и внешняя сила. Это интересное обстоятельство иллюстрирует нашу идею, высказанную во введении. Часть механизмов силы трения качения обусловлена физическими процессами, происходящими на площадке контакта. В частности, одной из важных характеристик этих процессов является истинное распределение напряжений на ней. Разобранная задача наглядно демонстрирует, что распределение напряжений на площадке контакта кардинальным образом зависит от способа приложения силы, т.е. от условий качения. Естественно ожидать, что и сила трения качения будет существенно зависеть от этих условий. Задачи подобного типа нуждаются в уточнении для объяснения ряда наблюдаемых эффектов, возникающих при качении. В качестве примера рассмотрим особенности движения бильярдных шаров. Рассмотрим следующий вопрос: как надо ударить кием по бильярдному шару, чтобы сила трения шара о сукно заставляла его двигаться: а) ускоренно; б) замедленно; в) равномерно. Для упрощения анализа предположим, что удар наносится кием горизонтально в вертикальной плоскости, проходящей через центр шара и точку касания его с поверхностью бильярдного стола (рис. ).
Рис. . Удар по бильярдному шару. | Рис. . Различные направления силы трения скольжения в зависимости от характера движения бильярдного шара. |
На первый взгляд, может показаться странным, что после удара шар может двигаться по столу ускоренно, поскольку принято считать, что силы трения всегда направлены в сторону, противоположную движению. На самом деле, в зависимости от условий удара, сила трения может быть направлена как по скорости движения, так и против нее (). Действительно, вследствие удара шар приобретает как поступательное, так и вращательное движение. Здесь возможны три различных ситуации. 1. Если скорость поступательного движения меньше линейной скорости вращательного движения точек на поверхности шара то шар движется с проскальзыванием и возникает сила трения скольжения, направленная в сторону движения, увеличивающая скорость поступательного движения и уменьшающая скорость вращательного движения до тех пор, пока эти скорости не сравняются. После этого потери механической энергии шара при его качении будут определяться силой трения качения в узком смысле. 2. Если скорость поступательного движения будет больше скорости вращательного движения то шар будет двигаться замедленно. 3. При шар покатится с последующей постепенной потерей энергии за счет действия сил трения качения. Необходимые условия удара (см. рис. ) находятся из уравнений динамики поступательного и вращательного движений (без учета сил трения качения):
Где -- момент инерции шара. Отсюда:
В силу того, что начальные значения поступательной и вращательной скоростей равны нулю, имеем:
Рассмотрим теперь задачу о столкновении бильярдных шаров при различных условиях. Точнее, определим условия, при которых при столкновении движущегося шара с другим (неподвижным) шаром: 1) оба шара стали двигаться вперед (удар с накатом); 2) налетающий шар остановился, а покоящийся стал двигаться вперед; 3) налетающий шар после удара откатился назад (удар с оттяжкой). По-прежнему мы будем пренебрегать силой трения качения шаров как при движении шаров, так и в процессе их взаимодействия. Первый случай реализуется при высоких ударах когда шар движется с вращением в сторону движения. При упругом столкновении шары обмениваются поступательными импульсами и второй шар начинает скользить со скоростью первого. При этом сила трения скольжения будет уменьшать скорость поступательного и увеличивать скорость вращательного движений до того момента, до того момента, когда они сравняются и шар покатится. Движущийся шар остановится, но, поскольку он вращался, сила трения скольжения будет продолжать действовать вперед и шар снова начнет двигаться. Для того, чтобы произвести столкновение шаров типа "удара с оттяжкой", необходимо, чтобы скользящий шар вращался противоположно рассмотренному выше случаю. Наконец, чтобы реализовать столкновение с остановкой налетающего шара, необходимо, чтобы его поступательная и вращательная скорость после удара одновременно обратились в нуль. На практике это возможно, но теоретическое объяснение в этом случае потребует учета силы трения качения. Следует отметить, что и предыдущих ситуациях учет силы трения качения при столкновениях может привести к существенной модификации решения. След.: