Расчет траектории, скорости и ускорения точки в заданные моменты времени. Приложение определенного интеграла к решению физических задач Вычисление работы силы
Рассмотрим решение следующих задач.
1. Через участок тела животного проходит импульс тока, который изменяется со временем по закону мА. Длительность импульса 0,1 с. Определить работу, совершаемую током за это время, если сопротивление участка равно 20 кОм.
За малый интервал времени dt , когда ток практически не меняется, на сопротивлении R совершается работа . За время всего импульса будет совершена работа
.
Подставляя в полученное выражение значение тока, получим.
2. Скорость точки равна (м/с). Найти путь S , пройденный точкой за время t =4с, прошедшее от начала движения.
Найдем путь , пройденный точкой за бесконечно малый промежуток времени . Так как в течение этого времени скорость можно считать постоянной, то . Интегрируя, имеем
3. Найти силу давления жидкости на вертикальную треугольную пластину с основанием a и высотой h , погруженную в жидкость так, что ее вершина лежит на поверхности.
Систему координат расположим, как показано на рис. 5.
Рассмотрим горизонтальную бесконечно малую полоску толщиной dx , находящуюся на произвольной глубине x . Принимая эту полоску за прямоугольник, найдем ее основание EF . Из подобия треугольников ABC и AEF получаем
Тогда площадь полоски равна
Так как сила P давления жидкости на площадку S , глубина погружения которой r , по закону Паскаля равна
где r- плотность жидкости, g - ускорение силы тяжести, то искомая сила давления на рассматриваемую площадку dS вычисляется по формуле
.
Следовательно, сила давления P жидкости на площадку ABC
.
Решить задачи .
5.41 Скорость движения точки определяется уравнением см/с. Найти путь, пройденный точкой за время t =5с, протекшее от начала движения.
5.42 Скорость тела выражается формулой м/с. Найти путь, пройденный телом за первые три секунды после начала движения.
5.43 Скорость движения тела определяется уравнением см/с. Какой путь пройдет тело за третью секунду движения?
5.44 Два тела начинают двигаться одновременно из одной и той же точки: одно со скоростью (м/мин), а другое со скоростью (м/мин). На каком расстоянии друг от друга они будут через 10 мин, если двигаются по одной линии в одном направлении?
5.45 На тело массой 5 г, движущееся прямолинейно, действует сила (дин). Найти расстояние, пройденное телом в течение третьей секунды движения.
5.46 Скорость колеблющейся точки изменяется по закону (см/с). Определить смещение точки через 0,1 с после начала движения.
5.47 Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 0,06 м, если сила в 1Н растягивает ее на 0,01 м?
5.48 Скорость колеблющейся точки изменяется по закону (м/с). Определить путь, пройденный точкой за с от начала движения.
5.49 Азот, масса которого 7 г, расширяется при неизменной температуре, равной 300°К так, что его объем увеличивается вдвое. Определить работу, совершаемую газом. Универсальная газовая постоянная Дж/кмоль.
5.50 Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину длиной в 25 см до длины в 35 см, если известно, что коэффициент жесткости пружины равен 400 Н/м?
5.51 Через тело животного проходит импульс тока, который изменяется со временем по закону (мА). Длительность импульса равна 0,1с. Определить заряд, протекающий через тело животного.
5.52 Какая работа совершается при растяжении мышцы на l мм, если известно, что при нагрузке P 0 мышца растягивается на l 0 мм? Считать, что сила, необходимая для растяжения мышц, пропорциональна ее удлинению.
5.53 Тело двигается в некоторой среде прямолинейно по закону . Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости . Найти работу, произведенную силой сопротивления среды при передвижении тела от S =0 до S =a метров.
Тест по теме «Кинематика» Вариант 1.
1. Расстояние между начальной и конечной точками - это:
А) путь Б) перемещение В) смещение Г) траектория
2. В каком из следующих случаев движение тела нельзя рассматривать как движение материальной точки?
А) Движение Земли вокруг Солнца. Б) Движение спутника вокруг Земли.
В) Полет самолета из Владивостока в Москву. Г) Вращение детали, обрабатываемой на
станке
3.
Какие из перечисленных величин являются скалярными?
А) перемещение Б) путь В) скорость
4
. Что измеряет спидометр автомобиля?
А) ускорение; Б) модуль мгновенной скорости;
В) среднюю скорость; Г) перемещение
5.
Какая единица времени является основной в Международной системе единиц?
А) 1час Б) 1 мин В) 1 с Г) 1 сутки.
6.
Два автомобиля движутся по прямому шоссе в одном направлении. Если направить ось ОХ вдоль направления движения тел по шоссе, тогда какими будут проекции скоростей автомобилей на ось ОХ?
7.
Автомобиль объехал Москву по кольцевой дороге, длина которой 109 км. Чему равны пройденный путь l и перемещение S автомобиля?
A) l = 109
км; S = 0
Б) l =218
км S = 109
кмВ) l =
218 км; S =
0.
Г) l=109
км; S=218
км
8.
А) 1 Б)2 В)3 Г) 4.
9 . Определите путь, пройденный точкой за 5 с. (Рис. 2).
А) 2м Б) 2,5м В) 5м Г) 10м.
10 .. На рисунке 3 представлен график зависимости пути, пройденного велосипедистом, от времени. Определить путь, пройденный велосипедистом за интервал времени от t 1 = 1c до t 2 = 3с?
11 . Если ускорение равно 2 м/с 2 , то это:
А) равномерное движение Б) равнозамедленное движение
В) равноускоренное движение Г) прямолинейное
12 . Ускорение характеризует изменение вектора скорости
А) по величине и направлению Б) по направлению В) по величине
13
. Автомобиль, движущийся прямолинейно равноускоренно, увеличил свою скорость с
3 м/с до 9 м/с за 6 секунд. С каким ускорением двигался автомобиль?
А) 0 м/с 2 Б) 3 м/с 2 В) 2 м/с 2 Г) 1 м/с 2
14. Какую скорость приобретает автомобиль при торможении с ускорением 0,5 м/с 2 через 10 с от начала торможения, если начальная скорость его была равна 72 км/ч?
А) 15м/с Б) 25м/с В) 10м/с Г) 20м/с.
Тест по теме «Кинематика» Вариант 2.
1
. Велосипедист движется из точки А велотрека в точку В по кривой АВ. Назовите
физическую величину, которую изображает вектор АВ.
А) путь Б) перемещение В) скорость
2 . Почему при расчетах можно считать Луну материальной точкой (относительно Земли)?
А)Луна - шарБ) Луна - спутник Земли В)Масса Луны меньше массы Земли
Г) Расстояние от Земли до Луны во много раз больше радиуса Луны.
3.
. Физические величины бывают векторными и скалярными. Какая физическая величина из перечисленных является скалярной?
А) ускорение Б) время В) скорость Г) перемещение
4.
. Какие из перечисленных ниже величин являются векторными:
1) путь 2) перемещение 3) скорость?
А) 1 и 2 Б) 2 и 3 В) 2 Г) 3 и 1.
5
. Основными единицами длины в СИ являются:
А) метр Б) километр В) сантиметр Г) миллиметр
6
. Два автомобиля движутся по прямому шоссе в противоположных направлении. Если направить ось ОХ вдоль направления движения первого автомобиля по шоссе, тогда какими будут проекции скоростей автомобилей на ось ОХ?
А) обе положительные Б) обе отрицательные
В) первого - положительная, второго - отрицательная
Г) первого - отрицательная, второго – положительная
7
. Тело, брошенное вертикально вверх, достигло наибольшей высоты 10 м и упало на
землю. Чему равны путь l и перемещение S за все время его движения?
A) l = 20 м, S = 0 м Б) l = 10 м, S = 0
B) l = 10 м, S = 20 м Г) l = 20 м, S = 10 м.
8 . Какой из графиков соответствует равномерному движению? (Рис. 1).
А) 3 Б)4 В)1 Г) 2
9 . Определите путь, пройденный точкой за 3 с. (Рис. 2).
А) 2м Б) 6м В) 5м Г) 1,5м.
10. . На рисунке 3 представлен график зависимости пути, пройденного велосипедистом, от времени. Определить путь, пройденный велосипедистом за интервал времени от t 1 = 2c до t 2 = 4с?
А) 9 м Б) 6 м В) 3 м. Г) 12 м
11 . Если ускорение равно -3м/с 2 , то это:
А) равномерное движение Б) равноускоренное движение
В) равнозамедленное движение Г) прямолинейное движение
12
. Автомобиль трогается с места и движется с возрастающей скоростью прямолинейно.
А) ускорение равно 0 Б) направлен против движения автомобиля
В) направлен в сторону движения автомобиля
13. Скорость автомобиля за 20с уменьшилась с 20м/с до 10м/с. С каким средним ускорением двигался автомобиль?
А) 0,5м/с 2 Б) 5м/с 2 В) -5м/с 2 Г) -0,5м/с 2
14 . Определить скорость тела при торможении с ускорением 0,2м/с 2 через 30с от начала движения, если начальная скорость его была равна 2м/с.
А) -4м Б) 4 м В) -6м Г) 8м.
Ответы
Вариант 1 Вариант 2
1 –б 1 -б
2 - г 2 – г
3 – а 3 – б
4 – б 4 – в
5 – в 5 – а
6 – а 6 – в
7 – в 7 – а
8 – б 8 – г
9 – г 9 – б
10 – б 10 – б
11 – в 11 – в
12 – а 12 – в
13 – г 13 – г
14 – б 14- а
1.13. Автомобиль трогается с места и движется с возрастающей скоростью прямолинейно.
Какое направление имеет вектор ускорения?
1.14. Автомобиль тормозит на прямолинейном участке дороги. Какое направление имеет
вектор ускорения?
А) ускорение равно 0; Б) направлен против движения автомобиля;
В) направлен в сторону движения автомобиля.
1.16. Физические величины бывают векторными и скалярными. Какая физическая величина из перечисленных является скалярной?
А) ускорение; Б) время; В) скорость; Г) перемещение.
1.18. Основными единицами длины в СИ являются:
А) километр; Б) метр; В) сантиметр; Г) миллиметр.
1.19. Какие из перечисленных ниже величин являются векторными:
1) путь, 2) перемещение, 3) скорость?
А) 1 и 2; Б) 2; В) 2 и 3; Г) 3 и 1.
1.22. Двигаясь прямолинейно, одно тело за каждую секунду проходит путь 5 м, другое тело - за каждую секунду 10 м. Движения этих тел являются: А) равномерными; Б) неравномерными; В) первого неравномерным, второго равномерным; Г) первого равномерным, второго неравномерным
1 25. Модуль скорости тела за каждую секунду увеличивался в 2 раза. Какое утверждение будет правильным?
А) ускорение уменьшалось в 2 раза; Б) ускорение не изменялось;
В) ускорение увеличивалось в 2 раза
1.26. Тело, брошенное вертикально вверх, достигло наибольшей высоты 10 м и упало на
землю. Чему равны путь l и перемещение S за все время его движения?
A) l = 10 м, S = 0 м; Б) l = 20 м, S = 0;
B) l = 10 м, S = 20 м; Г) l = 20 м, S = 10 м.
1.35. При отходе от станции ускорение поезда составляет 1 м/с2. Какой путь проходит поезд за 10 с?
А) 5 м; Б) 10 м; В) 50 м; Г) 100 м.
1.36. При равноускоренном движении в течение 5 с автомобиль увеличил скорость от 10 до
15 м/с. Чему равен модуль ускорения автомобиля?
А) 1 м/с2; Б) 2 м/с2; В) 3 м/с2; Г) 5 м/с2.
1.55. Какая из приведенных функций (v(t)) описывает зависимость модуля скорости от
времени при равномерном прямолинейном движении тела вдоль оси ОХ со скоростью 5 м/с?
A) v = 5t; Б) v = t; B) v = 5; Г) v = -5.
1.65. Находящемуся на горизонтальной поверхности стола бруску сообщили скорость 5 м/с. Под действием сил трения брусок движется с ускорением 1 м/с2. Чему равен путь, пройденный бруском за 6 секунд?
А) 48 м; Б) 12 м; В) 40 м; Г) 30 м.
13. На рисунке 3 представлен график зависимости пути, пройденного велосипедистом, от времени. Определить путь, пройденный велосипедистом за интервал времени от t 1 = 1c до t 2 = 4с?
А) 15 м. Б) 3 м. В) 12 м. Г) 9 м. Д) 20 м.
14. На рисунке 3 представлен график зависимости пути, пройденного велосипедистом, от времени. Определить скорость движения велосипедиста в момент времени t = 2c .
А) 2 м/с. Б) 6 м/с. В) 3 м/с. Г) 12 м/с. Д) 8 м/с.
18. Тело движется прямолинейно и уменьшает скорость. Куда направлено ускорение?
А) По ходу движения. Б) По нормали. В) Против движения. Г) По радиусу-вектору к данной точке траектории. Д) По касательной к траектории
А) Луна - шар. Б) Луна - спутник Земли. В) Масса Луны меньше массы Земли.
Г) Расстояние от Земли до Луны во много раз больше радиуса Луны.
Д) Среди предложенных ответов нет правильного.
Скорость автомобиля за 20 с уменьшилась с 20 м/с до 10 м/с . С каким средним ускорением двигался автомобиль? [−0,5 м/с 2 ]
где x и y – в см, а t – в с. Определить траекторию движения точки , скорость и ускорение в моменты времени t 0 =0 с, t 1 =1 с и t 2 =5 с , а также путь, пройденный точкой за 5 с.
Решение
Расчет траектории
Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:
3x=6t 2 +6
-4y=-6t 2 -4
————
3x-4y=2
Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).
Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A 0 , подставим в заданные уравнения значения t 0 =0 ; из первого уравнения получим x 0 =2 см , из второго y 0 =1 см . При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A 0 (2; 1).
Рисунок 1.5
Расчет скорости
Определяем , найдя сначала ее проекции на оси координат :
При t 0 =0с скорость точки v 0 =0 , при t 1 =1с – v 1 =5 см/с , при t 2 =5с – v 2 =25см/с .
Расчет ускорения
Определяем ускорение точки . Его проекции на оси координат:
Проекции ускорения не зависят от времени движения,
т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.
С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости.