Как найти скорость тела при равноускоренном движении. Равноускоренное движение
Равномерное прямолинейное движение. Скорость
Равномерным прямолинейным движением называют такое происходящее по прямолинейной траектории движение, при котором тело (материальная точка) за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.
Перемещение тела в прямолинейном движении обычно обозначают s. Если тело движется по прямой только в одном направлении, модуль его перемещения равен пройденному пути, т.е. |s|=s. Для того, чтобы найти перемещение тела s за промежуток времени t, необходимо знать его перемещение за единичное время. С этой целью вводят понятие скорости v данного движения.
Скоростью равномерного прямолинейного движения называют векторную величину, равную отношению перемещения тела к промежутку времени, в течение которого было совершено это перемещение:
Направление скорости в прямолинейном движении совпадает с направлением перемещения.
Поскольку в равномерном прямолинейном движении за любые равные промежутки времени тело совершает равные перемещения, скорость такого движения является величиной постоянной (v=const). По модулю
Из формулы (1.2) устанавливают единицу скорости.
В настоящее время в качестве основной системы единиц используют Международную систему единиц (сокращенно СИ - система интернациональная). Об этой системе рассказано далее. Единицей скорости в СИ является 1 м/с (метр в секунду); 1 м/с есть скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором материальная точка за 1 с совершает перемещение 1 м.
Пусть ось Ох системы координат, связанной с телом отсчета, совпадает с прямой, вдоль которой движется тело, а x 0 является координатой начальной точки движения тела. Вдоль оси Ох направлены и перемещение s, и скорость v движущегося тела. Из формулы (1.1) следует, что s=vt. Согласно этой формуле, векторы s и vt равны, поэтому равны и их проекции на ось О х:
s x =v x ·t. (1.3)
Теперь можно установить кинематический закон равномерного прямолинейного движения, т. е. найти выражение для координаты движущегося тела в любой момент времени. Поскольку х=x 0 +s x , с учетом (1.3) имеем
х=x 0 + v x ·t. (1.4)
По формуле (1.4), зная координату x 0 начальной точки движения тела и скорость тела v (ее проекцию v x на ось О х), в любой момент времени можно определить положение движущегося тела. Правая часть формулы (1.4) является алгебраической суммой, так как и х 0 , и v x могут быть и положительными, и отрицательными (графическое представление равномерного прямолинейного движения дано далее).
Средняя и мгновенная скорости
прямолинейного неравномерного движения
Движение, при котором за равные промежутки времени тело совершает неравные перемещения, называют неравномерным (или переменным ). При переменном движении скорость тела с течением времени изменяется, поэтому для характеристики такого движения введены понятия средней и мгновенной скоростей.
Средней скоростью переменного движения v cp называют векторную величину, равную отношению перемещения тела s к промежутку времени t, за который было совершено это перемещение:
v cp =s/t. (1.5)
Средняя скорость характеризует переменное движение в течение только того промежутка времени, для которого эта скорость определена. Зная среднюю скорость за данный промежуток времени, можно определить перемещение тела по формуле s=v ср ·t лишь за указанный промежуток времени. Найти положение движущегося тела в любой момент времени с помощью средней скорости, определяемой по формуле (1.5), нельзя.
Как указывалось выше, когда тело движется по прямолинейной траектории в одну сторону, модуль его перемещения равен пройденному телом пути, т.е. |s|=s. В таком случае среднюю скорость определяют по формуле v=s/t, откуда имеем
s=v ср ·t. (1.6)
Мгновенной скоростью переменного движения называют скорость, которую тело имеет в данный момент времени (и следовательно, в данной точке траектории).
Выясним, каким способом можно определить мгновенную скорость тела. Пусть тело (материальная точка) совершает прямолинейное неравномерное движение. Определим мгновенную скорость v этого тела в произвольной точке С ее траектории (рис. 2).
Выделим маленький участок D
s 1 этой траектории, включающий в себя точку С. Этот участок тело проходит за промежуток времени D
t 1 . Разделив D
s 1 на D
t 1 , найдем значение средней скорости v cp1 =D
s 1 /D
t 1 на участке D
s 1 . Затем для промежутка времени D
t 2 Очевидно, что чем меньше промежуток времени D
t, тем меньше длина участка D
s, проходимого телом, и тем меньше значение средней скорости v cp =D
s/D
t отличается от значения мгновенной скорости в точке С. Если промежуток времени D
t стремится к нулю, длина участка пути D
s бесконечно уменьшается, а значение средней скорости v cp на этом участке стремится к значению мгновенной скорости в точке С. Следовательно, мгновенная скорость v есть предел, к которому стремится средняя скорость тела v cp , когда промежуток времени движения тела стремится к нулю: v=lim(D
s/D
t). (1.7) Из курса математики известно, что предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю (если этот предел существует), представляет собой первую производную этой функции по данному аргументу. Поэтому формулу (1.7) запишем в виде v=(ds/dt)=s" (1.8) где символы d/dt или штрих справа вверху у функции обозначают производную этой функции. Следовательно, мгновенная скорость есть первая производная пути по времени. Если аналитический вид зависимости пути от времени известен, с помощью правил дифференцирования можно определить мгновенную скорость в любой момент времени. В векторной форме Такое прямолинейное движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, называют равноускоренным прямолинейным движением
. Быстроту изменения скорости характеризуют величиной, обозначаемой а и называемой ускорением
. Ускорением
называют векторную величину, равную отношению изменения скорости тела v-v 0 к промежутку времени t, в течение которого это изменение произошло: a=(v-v 0)/t. (1.9) Здесь V 0 - начальная скорость тела, т. е. его мгновенная скорость в момент начала отсчета времени; v - мгновенная скорость тела в рассматриваемый момент времени. Из формулы (1.9) и определения равноускоренного движения следует, что в таком движении ускорение не изменяется. Следовательно, прямолинейное равноускоренное движение есть движение с постоянным ускорением (a=const). В прямолинейном равноускоренном движении векторы v 0 , v и а направлены по одной прямой. Поэтому модули их проекций на эту прямую равны модулям самих этих векторов, и формулу (1.9) можно записать в виде a=(v-v 0)/t. (1.10) Из формулы (1.10) устанавливается единица ускорения. Из (1.9) следует, что v= v 0 +at. По этой формуле определяют мгновенную скорость v тела в равноускоренном движении, если его начальная скорость v 0 и ускорение а известны. Для прямолинейного равноускоренного движения эту формулу можно записать в виде v=v 0 +at. (1.11) Если v 0 =0, то Получим выражение для средней скорости прямолинейного равноускоренного движения. Из формулы (1.11) видно, что v=v 0 при t=0, v 1 =v 0 +a при t=1, v 2 =v 0 +2a=v 1 +a при t=2 и т. д. Следовательно, в равноускоренном движении значения мгновенной скорости, которые тело имеет через равные промежутки времени, образуют такой ряд чисел, в котором каждое из них (начиная со второго) получается путем прибавления к предшествующему постоянного числа а. Это значит, что рассматриваемые значения мгновенной скорости образуют арифметическую прогрессию. Следовательно, средняя скорость прямолинейного равноускоренного движения может быть определена по формуле v ср =(v 0 +v)/2, (1.13) где v 0 - начальная скорость тела; v - скорость тела в данный момент времени. Найдем кинематический закон прямолинейного равноускоренного движения. Для этого используем формулы (1.6), (1.11) и (1.13). Из них следует, что s=v ср ·t=(v 0 +v)·t/2=(2v 0 +at)·t/2, s=v 0 ·t+at 2 /2. (1.14) Если начальная скорость тела равна нулю (v 0 =0), то s=at 2 /2. (1.15) По формулам (1.14) и (1.15) определяют путь, пройденный телом в равноускоренном прямолинейном движении (модуль перемещения тела, не изменяющего направления своего движения). Для случая, когда тело движется по оси О х. из точки с координатой х 0 , из формулы (1.14) получаем уравнение, выражающее зависимость координаты этого тела от времени. Поскольку x=x o +s x , а s x =v 0x ·t+a x t 2 /2, х=x 0 +v 0x ·t+at 2 /2. (1.16) Формула (1.16) есть уравнение прямолинейного равноуско-ренного движения (кинематический закон этого движения). Следует помнить, что в формуле (1.16) v 0x и а x могут быть как положительными, так и отрицательными, так как это проекции векторов v 0 и а на ось О х. Установим связь модуля перемещения s тела, совершающего равноускоренное прямолинейное движение, с его скоростью. Из формулы (1.10) находим, что t=(v-v 0)/a. Подставив это выражение и формулу (1.13) в формулу (1.7), получим s=[(v 0 +v)/2]·[(v-v 0)/a], следовательно, s=(v 2 -v 0 2)/(2а) или v 2 =v 0 2 +2as. (1.17) Если начальная скорость тела равна нулю (v 0 =0), то v 2 =2as.
Графическое представление равноускоренного прямолинейного движения. Перемещение при равноускоренном движении. I
уровень.
Многие физические величины, описывающие движения тел, с течением времени изменяются. Поэтому для большей наглядности описания движение часто изображают графически. Покажем, как графически изображаются зависимости от времени кинематических величин, описывающих прямолинейное равноускоренное движения. Равноускоренное прямолинейное движение
- это движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т. е. это движение с постоянным по модулю и направлению ускорением. a=const - уравнение ускорения. Т. е а имеет численное значение, которое не изменяется со временем. По определению ускорения Отсюда мы уже нашли уравнения для зависимости скорости от времени: v = v0 + at.
Посмотрим, как это уравнение можно использовать для графического представления равноускоренного движения. Изобразим графически зависимости кинематических величин от времени для трех тел . 1 тело движется вдоль оси 0Х, при этом увеличивает свою скорость (вектор ускорения а сонаправленн с вектором скорости v). vx >0, ах > 0 2 тело движется вдоль оси 0Х, при этом уменьшает свою скорость (вектор ускорения а не сонаправленн с вектором скорости v). vx >0, ах < 0 2 тело движется против оси 0Х, при этом уменьшает свою скорость (вектор ускорения а не сонаправленн с вектором скорости v). vx < 0, ах > 0 График ускорения
Ускорение по определению величина постоянная. Тогда для представленной ситуации график зависимости ускорения от времени a(t) будет иметь вид: Из графика ускорения можно определить как изменялась скорость – увеличивалась или уменьшалась и на какое численное значение изменилась скорость и у какого тела скорость больше изменилась. График скорости
Если сравнить зависимость координаты от времени при равномерном движении и зависимость проекции скорости от времени при равноускоренном движении, можно увидеть, что эти зависимости одинаковы: х= х0 +
vx
t
vx
=
v
0
x
+
a
х
t
Это значит, что и графики зависимостей имеют одинаковый вид. Для построения этого графика на оси абсцисс откладывают время движения, а на оси ординат - скорость (проекцию скорости) тела. В равноускоренном движении скорость тела с течением времени изменяется. Перемещение при равноускоренном движении.
При равноускоренном прямолинейном движении скорость тела определяется формулой vx
=
v
0
x
+
a
х
t
В этой формуле υ0 – скорость тела при t
= 0 (начальная скорость
), a
= const – ускорение. На графике скорости υ (t
) эта зависимость имеет вид прямой линии (рис.). По наклону графика скорости может быть определено ускорение a
тела. Соответствующие построения выполнены на рис. для графика I. Ускорение численно равно отношению сторон треугольника ABC
: MsoNormalTable"> Чем больше угол β, который образует график скорости с осью времени, т. е. чем больше наклон графика (крутизна
), тем больше ускорение тела. Для графика I: υ0 = –2 м/с, a
= 1/2 м/с2. Для графика II: υ0 = 3 м/с, a
= –1/3 м/с2. График скорости позволяет также определить проекцию перемещения s
тела за некоторое время t
. Выделим на оси времени некоторый малый промежуток времени Δt
. Если этот промежуток времени достаточно мал, то и изменение скорости за этот промежуток невелико, т. е. движение в течение этого промежутка времени можно считать равномерным с некоторой средней скоростью, которая равна мгновенной скорости υ тела в середине промежутка Δt
. Следовательно, перемещение Δs
за время Δt
будет равно Δs
= υΔt
. Это перемещение равно площади заштрихованной полоски (рис.). Разбив промежуток времени от 0 до некоторого момента t
на малые промежутки Δt
, получим, что перемещение s
за заданное время t
при равноускоренном прямолинейном движении равно площади трапеции ODEF
. Соответствующие построения выполнены для графика II на рис. 1.4.2. Время t
принято равным 5,5 с. Так как υ – υ0 = at
, окончательная формула для перемещения s
тела при равномерно ускоренном движении на промежутке времени от 0 до t
запишется в виде: Для нахождения координаты y
тела в любой момент времени t
y
t
: https://pandia.ru/text/78/516/images/image008_63.gif" width="84" height="48 src="> Для нахождения координаты x тела в любой момент времени t
нужно к начальной координате x
0 прибавить перемещение за время t
: При анализе равноускоренного движения иногда возникает задача определения перемещения тела по заданным значениям начальной υ0 и конечной υ скоростей и ускорения a
. Эта задача может быть решена с помощью уравнений, написанных выше, путем исключения из них времени t
. Результат записывается в виде Если начальная скорость υ0 равна нулю, эти формулы принимают вид MsoNormalTable"> Следует еще раз обратить внимание на то, что входящие в формулы равноускоренного прямолинейного движения величины υ0, υ, s
, a
, y
0 являются величинами алгебраическими. В зависимости от конкретного вида движения каждая из этих величин может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Пример решения задачи:
Петя съезжает со склона горы из состояния покоя с ускорением 0,5 м/с2 за 20 с и дальше движется по горизонтальному участку. Проехав 40 м, он врезается в зазевавщегося Васю и падает в сугроб, снизив свою скорость до 0м/с. С каким ускорением двигался Петя по горизонтальной поверхности до сугроба? Какова длина склона горы, с которой так неудачно съехал Петя? Дано
: a
1 = 0,5 м/с2 t
1 = 20 с s
2 = 40 м Движение Пети состоит из двух этапов: на первом этапе, спускаясь со склона горы, он движется с возрастающей по модулю скоростью; на втором этапе при движении по горизонтальной поверхности его скорость уменьшается до нуля (столкнулся с Васей). Величины, относящиеся к первому этапу движения, запишем с индексом 1, а ко второму этапу с индексом 2. 1 этап.
Уравнение для скорости Пети в конце спуска с горы: v
1
= v
01 + a
1t
1.
В проекциях на ось X
получим: v
1x
= a
1x
t
.
Запишем уравнение, связывающее проекции скорости, ускорения и перемещения Пети на первом этапе движения: или т. к. Петя ехал с самого верха горки с начальной скоростью V01=0 (на месте Пети, я бы поостереглась ездить с таких высоких горок) Учитывая, что начальная скорость Пети на этом 2 этапе движения равна его конечной скорости на первом этапе: v
02
x
= v
1
x
, v
2x
= 0,
где v1 – скорость с которой Петя достиг подножия горки и начал двигаться к Васе. V2x - скорость Пети в сугробе. Используем уравнение и найдем скорость v1 На горизонтальним участе дороги путь Пети рамен: НО!!! целесообразнее воспользоваться другим уравнением, т. к. нам не известно время жвижения Пети до Васи t2 Ускорение получиться отрицательным – это значит, что Петя очень старался затормозить не об Васю, а несколько раньше. Ответ:
a
2 = -1,25 м/с2; s
1 = 100 м. II
уровень. Письменно решить задачи.
1. По графикам, изображенным на рисунке, записать уравнения зависимости скорости от времени. Как двигались тела на каждом этапе своего движения(сделать по образцу см. пример). 2. По данному графику ускорения расскажите как меняется скорость тела. Запишите уравнения зависимости скорости от времени, если на момент начала движения (t=0) скорость тела v0х =0. Обратите внимание, что каждый последующий участок движения, тело начинает проходить с уже какой-либо скоростью (которая была достигнута за предыдущее время!). 3. Поезд метро, отходя от станции, может развить скорость 72 км/ч за 20 с. Определить с каким ускорением удаляется от вас сумка, забытая в вагоне метро. Какой путь при этом она проедет? 4. Велосипедист, движущийся со скоростью 3 м/с, начинает спускаться с горы с ускорением 0,8 м/с2. Найдите длину горы, если спуск занял 6 с. 5. Начав торможение с ускорением 0,5 м/с2, поезд прошел до остановки 225 м. Какова была его скорость перед началом торможения? 6. Начав двигаться, футбольный мяч достиг скорости 50 м/с, пройдя путь 50 м и врезался в окно. Определите время, за которое мяч прошел этот путь, и ускорение, с которым он двигался. 7. Время реакции соседа дяди Олега = 1,5 мин, за это время он сообразит, что случилось с его окном и успеет выбежать во двор. Определите какую скорость должны развить юные футболисты, что бы радостные владельцы окна их не догнали, если до своего подъезда им нужно бежать 350 м. 8. Два велосипедиста еду навстречу друг другу. Первый, имея скорость 36 км/ч, начал подниматься в гору с ускорением 0,2 м/с2, а второй, имея скорость 9 км/ч, стал спускаться с горы с ускорением 0,2 м/с2. Через сколько времени и в каком месте они столкнуться из-за своей рассеянности, если длина горы 100 м?Равноускоренное прямолинейное движение. Ускорение
В СИ единицей ускорения является 1 м/с 2 (метр на секунду в квадрате); 1 м/с 2 - это ускорение такого равноускоренного движения, при котором за каждую секунду скорость тела увеличивается на 1 м/с.Формулы мгновенной и средней скоростей
равноускоренного движенияУравнение равноускоренного прямолинейного движения
следовательно,Связь перемещения тела с его скоростью
Считаем шоссе прямолинейным. Запишем уравнение движения велосипедиста. Так как велосипедист двигался равномерно, то его уравнение движения:
(начало координат помещаем в точку старта, поэтому начальная координата велосипедиста равна нулю).
Мотоциклист двигался равноускоренно. Он также начал движение с места старта, поэтому его начальная координата равна нулю, начальная скорость мотоциклиста также равна нулю (мотоциклист начал двигаться из состояния покоя).
Учитывая, что мотоциклист начал движение на позже, уравнение движения мотоциклиста:
При этом скорость мотоциклиста изменялась по закону:
В момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста их координаты равны, т.е. или:
Решая это уравнение относительно , находим время встречи:
Это квадратное уравнение. Определяем дискриминант:
Определяем корни:
Подставим в формулы числовые значения и вычислим:
Второй корень отбрасываем как несоответствующий физическим условиям задачи: мотоциклист не мог догнать велосипедиста через 0,37 с после начала движения велосипедиста, так как сам покинул точку старта только через 2 с после того, как стартовал велосипедист.
Таким образом, время, когда мотоциклист догнал велосипедиста:
Подставим это значение времени в формулу закона изменения скорости мотоциклиста и найдем значение его скорости в этот момент:
2) Графический способ.
На одной координатной плоскости строим графики изменения со временем координат велосипедиста и мотоциклиста (график для координаты велосипедиста — красным цветом, для мотоциклиста — зеленым). Видно, что зависимость координаты от времени для велосипедиста — линейная функция, и график этой функции — прямая (случай равномерного прямолинейного движения). Мотоциклист двигался равноускоренно, поэтому зависимость координаты мотоциклиста от времени — квадратичная функция, графиком которой является парабола.
>>Физика: Скорость при равноускоренном движении
Теория равноускоренного движения была разработана знаменитым итальянским ученым Галилео Галилеем. В своей книге "Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к Механике и Местному движению", вышедшей в 1638 г., Галилей впервые дал определение равноускоренного движения и доказал ряд теорем, в которых описывались его закономерности.
Приступая к изучениюравноускоренного прямолинейного движения
, выясним сначала, как находится скорость тела, если известны ускорение этого тела и время движения.
При начальной скорости, равной нулю (V
0 = 0),
V
= at (3.1)
Эта формула показывает, что для нахождения скорости тела через время I после начала движения надо ускорение тела умножить на время движения.
В противоположном случае, когда тело совершает замедленное движение и в конце концов останавливается (V
= 0), формула ускорения позволяет найти начальную скорость тела:
V
0 = at (3.2)
Наглядную картину того, как изменяется скорость тела в процессе равноускоренного движения, можно получить, построив график скорости
.
Графики скорости впервые были введены в середине XIV в. францисканским ученым-монахом Джиованни ди Казалисом и архидьяконом Руанского собора Никола Оремом, ставшим впоследствии советником французского короля Карла V. По горизонтальной оси они предложили откладывать время, а по вертикальной оси - скорость. В такой системе координат графики скорости при равноускоренном движении имеют вид прямых линий, наклон которых показывает, как быстро изменяется скорость с течением времени.
Формуле (3.1), описывающей движение с возрастающей скоростью, соответствует, например, график скорости, изображенный на рисунке 5. График, изображенный на рисунке 6, соответствует движению с уменьшающейся скоростью.
При равноускоренном движении скорость тела непрерывно изменяется. Графики скорости позволяют определить скорость тела в различные моменты времени. Но иногда бывает нужно знать не скорость в тот или иной конкретный момент времени (такую скорость называют мгновенной
), а среднюю
скорость движения на всем пути.
Задачу о нахождении средней скорости при равноускоренном движении впервые удалось решить Галилею. В своих исследованиях он использовал графический метод описания движения.
Согласно теории Галилея, если скорость тела при равноускоренном движении увеличивается от 0 до некоторого значения V
, то средняя скорость движения будет равна половине достигнутой скорости:
Аналогичная формула справедлива и для движения с уменьшающейся скоростью. Если она уменьшается от некоторого начального значения V
0 до 0, то средняя скорость такого движения оказывается равной
Полученные результаты можно проиллюстрировать с помощью графика скорости. Так, например, для нахождения средней скорости движения, которому соответствует график на рисунке 5, мы должны найти половину от 6 м/с. В результате получаем 3 м/с. Это и есть средняя скорость рассматриваемого движения.
1. Кто является автором первой теории равноускоренного движения? 2. Как находится скорость тела при равноускоренном движении из состояния покоя? 3. Используя график, изображенный на рисунке 5, определите скорость тела через 2 с после начала движения. 4. Используя график, изображенный на рисунке 6, определите среднюю скорость движения тела.
С.В. Громов, Н.А. Родина, Физика 8 класс
Отослано читателями из интернет-сайтов
Основы физики, онлайн уроки физики, программа с физики, рефераты с физики, учебники по физике, физика в школе, тесты с физики, учебные программы по физике
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки