Золотое сечение число фибоначчи 1.618. Число бога, числа фибоначчи, золотое сечение
Леонардо Фибоначчи — один из знаменитейших математиков Средневековья. Одно из важнейших его достижений — числовой ряд, который определяет золотое сечение и прослеживается во всей природе нашей планеты.
Удивительное свойство этих чисел, что сумма всех предыдущих чисел равна последующему числу (проверьте сами):
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610… — ряд Фибоначчи
Оказывается, эта последовательность имеет множество интересных с точки зрения математики свойств. Вот пример: вы можете разделить линию на две части. Отношение меньшей части линии к большей будет равно отношению большей части ко всей линии. Этот коэффицент пропорциональности, приблизительно равный 1,618, известен как золотое сечение.
Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого сечения находят эту последовательность во всем растительном и в животном мире. Вот несколько удивительных примеров:
Расположение листьев на ветке, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя как золотое сечение. Если смотреть на листья такого растения сверху, можно заметить, что они распускаются по спирали. Углы между соседними листьями образуют правильный математический ряд, известный под названием последовательности Фибоначчи. Благодаря этому каждый отдельно взятый лист, растущий на дереве, получает максимально доступное количество тепла и света.
В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции — длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.
Ученый Цейзинг проделал колоссальную работу,чтобы обнаружить золотое сечение в теле человека. Он измерил около двух тысяч человеческих тел. Деление тела точкой пупа — важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела — длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.
В эпоху Возрождения считалось, что именно эта пропорция из ряда Фибоначчи, соблюденная в архитектурных сооружениях и других видах искусства, больше всего радует глаз. Вот несколько примеров использования золотого сечения в искусстве:
Портрет Моны Лизы
Портрет Монны Лизы долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника, который строится на принципах золотого сечения.
Парферон
Золотые пропорции присутствуют в размерах фасада древнегреческого храма Парфенона. Это древнее сооружение с его гармоническими пропорциями дарит нам такое же эстетическое наслаждение как и нашим предкам. Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию.
Рафаэль — «Избиение младенцев»
Картина строится на спирали, соблюдающей пропорции золотого сечения. Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции»Избиение младенцев» или только»чувствовал» ее.
Наш мир чудесен и полон больших неожиданностей. Удивительная нить взаимосвязи соединяет множество обыденных для нас вещей. Золотое сечение легендарно тем, что оно объединило, казалось бы, две совершенно разные ветви познания — математику, царицу точности и порядка, и гуманитарную эстетику.
Совместно с издательством « » мы публикуем отрывок из книги профессора прикладной математики Эдварда Шейнермана «Путеводитель для влюблённых в математику », посвященной нестандартным вопросам увлекательной математики, головоломкам, Вселенной чисел и фигур. Перевод с английского Алексея Огнёва.
Эта глава повествует о знаменитых числах Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и т. д. Этот ряд был назван в честь Леонардо Пизанского, больше известного как Фибоначчи. Леонардо Пизанский (1170–1250) - один из первых крупных математиков средневековой Европы. Прозвище Фибоначчи означает «сын Боначчи». Автор «Книги абака», излагающей десятичную систему счисления.
Квадраты и домино
Начнем с укладки квадратов и домино. Вообразим длинную горизонтальную рамку размерами 1 × 10. Мы хотим полностью заполнить ее квадратами 1 × 1 и костяшками домино 1 × 2, не оставив ни единой щели. Вот картинка:
Вопрос: сколькими способами это можно сделать?
Для удобства обозначим число вариантов F10. Перебирать их все и потом пересчитывать - тяжелый труд, чреватый ошибками. Гораздо лучше упростить задачу. Не будем с места в карьер искать F10, начнем с F1. Это проще простого! Нам нужно заполнить рамку 1 × 1 квадратами 1 × 1 и костяшками домино 1 × 2. Домино не поместится, остается единственное решение: взять один квадрат. Другими словами, F1 = 1.
Теперь разберемся с F2. Размер рамки 1 × 2. Можно заполнить ее двумя квадратами или одной костяшкой домино. Таким образом, есть два варианта, и F2 = 2.
Дальше: сколькими способами можно заполнить рамку 1 × 3? Первый вариант: три квадрата. Два других варианта: одна костяшка домино (две не влезут) и квадрат слева или справа. Итак, F3 = 3. Еще один шаг: возьмем рамку 1 × 4. На рисунке показаны все варианты заполнения:
Мы нашли пять возможностей, но где гарантия, что мы ничего не упустили? Есть способ проверить себя. В левом конце рамки может быть или квадрат, или костяшка домино. В верхнем ряду на рисунке - варианты, когда слева квадрат, в нижнем ряду - когда слева домино.
Допустим, слева квадрат. Оставшуюся часть нужно заполнить квадратами и домино. Другими словами, нужно заполнить рамку 1 × 3. Это дает 3 варианта, так как F3 = 3. Если слева домино, размер оставшейся части 1 × 2, и заполнить ее можно двумя вариантами, так как F2 = 2.
Таким образом, у нас есть 3 + 2 = 5 вариантов, и мы удостоверились, что F4 = 5.
Теперь ваша очередь. Подумайте пару минут и найдите все варианты заполнения для рамки 1 × 5. Их немного. Решение - в конце главы. Можете отвлечься и подумать.
Вернемся к нашим квадратам. Хочется верить, что вы нашли 8 вариантов, так как есть 5 способов укладки, где слева квадрат, и еще 3 способа, где слева домино. Таким образом, F5 = 8.
Подытожим. Мы обозначили FN количество способов заполнения рамки 1 × n квадратами и костяшками домино. Нам необходимо найти F10. Вот что мы уже знаем:
Двигаемся дальше. Чему равно F6? Можно нарисовать все варианты, но это скучно. Лучше разобьем вопрос на две части. Сколькими способами можно заполнить рамку 1 × 6, если слева (a) квадрат и (b) костяшка домино? Хорошая новость: мы уже знаем ответ! В первом случае нам остается пять квадратов, а мы знаем, что F5 = 8. Во втором случае нужно заполнить четыре квадрата; нам известно, что F4 = 5. Таким образом, F5 + F4 = 13.
Чему равно F7? Исходя из тех же соображений, F7 =F6+F5=13+8=21. А как насчет F8? Очевидно, F8 = F7 + F6 = 21 + 13 = 34. И так далее. Мы обнаружили следующую взаимосвязь: Fn = Fn-1 + Fn-2.
Еще несколько шагов - и мы найдем искомое число F10. Правильный ответ - в конце главы.
Числа Фибоначчи
Числа Фибоначчи - это последовательность:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Она выстраивается по таким правилам:
― первые два числа 1 и 1;
― каждое следующее число получаем сложением двух предыдущих.
Будем обозначать n-ный элемент последовательности Fn, начиная с нуля: F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, … Очередной элемент мы вычисляем по формуле: Fn = Fn-1 + Fn-2.
Как мы видим, задача об укладке квадратов и домино привела нас к последовательности чисел Фибоначчи [1 ]В задаче о квадратах и домино мы выяснили: F1 = 1, а F2 = 2. Но числа Фибоначчи начинаются с F0 = 1. Как это согласуется с условиями задачи? Сколько существует способов заполнить на тех же условиях рамку 0 × 1? Длина квадрата и длина костяшки домино, как ни крути, больше нуля, потому есть искушение сказать, что ответ равен нулю, но это не так. Прямоугольник 0 × 1 уже заполнен, там нет щелей; нам не понадобится ни квадрат, ни костяшка домино. Таким образом, есть всего один способ действия: не брать ни квадрата, ни костяшки домино. Понимаете? В таком случае я вас поздравляю. У вас душа математика!
Сумма чисел Фибоначчи
Попробуем сложить первые несколько чисел Фибоначчи. Что мы можем сказать о сумме F0 + F1 +… + Fn для любого n? Давайте проделаем кое-какие вычисления и посмотрим, что получится. Обратите внимание на результаты сложения внизу. Видите ли вы закономерность? Повремените немного, прежде чем двигаться дальше: будет лучше, если вы найдете ответ самостоятельно, а не прочтете уже готовое решение.
Хочется верить, вы увидели, что результаты суммирования, если к ним приплюсовать по единице, тоже выстраиваются в последовательность чисел Фибоначчи. Например, сложение чисел от F0 до F5 дает: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F7 - 1. Сложение чисел от F0 до F6 дает 33, что на единицу меньше F8 = 34. Мы можем записать формулу для неотрицательных целых чисел n: F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. (*)
Вероятно, лично вам достаточно будет увидеть, что формула [* ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. . работает в дюжине случаев, чтобы вы поверили, что она верна, но математики жаждут доказательств. Мы рады представить вам два возможных доказательства того, что она верна для всех неотрицательных целых чисел n.
Первое называется доказательством по индукции, второе - комбинаторным доказательством.
Доказательство по индукции
Формула [* ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. представляет собой бесконечно много формул в свернутом виде. Доказать, что [* ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. верно для конкретного значения n, скажем для n = 6, - простая арифметическая задача. Достаточно будет записать числа от F0 до F6 и сложить их: F0 +F2 +…+F6 =1+1+2+3+5+8+13=33.
Несложно увидеть, что F8 = 34, поэтому формула действует. Перейдем к F7. Не будем тратить время и складывать все числа: мы уже знаем сумму вплоть до F6. Таким образом, (F0 +F1 +…+F6)+F7 =33+21=54. Как и раньше, все сходится: F9 = 55.
Если сейчас мы начнем проверять, работает ли формула для n = 8, наши силы окончательно иссякнут. Но все же посмотрим, что мы уже знаем и что хотим выяснить:
F0 +F1 +…+F7 =F9.
F0 +F1 +…+F7 +F7 =?
Воспользуемся предыдущим результатом: (F0 +F1 +…+F7)+F8 =(F9-1)+F8.
Мы, конечно, можем вычислить (F9-1) + F8 арифметически. Но так мы устанем еще больше. В то же время мы знаем, что F8 + F9 = F10. Таким образом, нам не нужно ничего высчитывать или заглядывать в таблицу чисел Фибоначчи:
(F0 + F1 +… + F7) + F8 = (F9-1) + F8 = (F8 + F9-1) = F10-1.
Мы удостоверились, что формула работает для n = 8, на основе того, что знали про n = 7.
В случае n = 9 мы точно так же опираемся на результат для n = 8 (убедитесь в этом самостоятельно). Разумеется, доказав верность [* ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. для n, мы можем быть уверены, что [* ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. верно и для n + 1.
Мы готовы дать полное доказательство. Как уже было сказано, [* ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. представляет собой бесконечное количество формул для всех значений n от нуля до бесконечности. Посмотрим, как работает доказательство.
Вначале мы доказываем [* ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. в простейшем случае, для n = 0. Мы просто проверяем, что F0 = F0+2 - 1. Так как F0 = 1, а F2 = 2, очевидным образом 1 = 2 - 1, а F0 = F2-1.
Дальше нам достаточно показать, что верность формулы для одного значения n (скажем, n = k) автоматически означает верность для n + 1 (в нашем примере n = k + 1). Нам лишь надо продемонстрировать, как устроено это «автоматически». Что нам нужно сделать?
Возьмем некоторое число k. Предположим, мы уже знаем, что F0+F1+…+Fk =Fk+2–1. Мы ищем величину F0 + F1 +… + Fk + Fk+1.
Мы уже знаем сумму чисел Фибоначчи вплоть до Fk, поэтому у нас получается:
(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =(Fk+2–1)+Fk+1.
Правая часть равна Fk+2 - 1 + Fk+1, и мы знаем, чему равна сумма следующих друг за другом чисел Фибоначчи:
Fk+2–1 + Fk+1 = (Fk+2 + Fk+1) - 1 = Fk+3– 1
Подставим в наше равенство:
(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =Fk+3–1
Сейчас я объясню, что мы сделали. Если мы знаем, что [* ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. верно, когда мы суммируем числа вплоть до Fk, тогда [* ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. должно быть верно, если мы приплюсуем Fk+1.
Подытожим:
Формула [* ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. верна для n = 0.
Если формула [* ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. верна для n, она верна и для n + 1.
Мы можем уверенно сказать, что [* ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. верно для любых значений n. Верно ли [* ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. для n = 4987? Это так, если выражение верно для n = 4986, что основано на верности выражения для n = 4985, и так далее до n = 0. Следовательно, формула [* ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. верна для всех возможных значений. Этот метод доказательства известен под названием математическая индукция (или доказательство по индукции) . Мы проверяем базовый случай и даем шаблон, по которому каждый следующий случай может быть доказан на основе предыдущего.
Комбинаторное доказательство
А вот совершенно другое доказательство тождества [* ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. . Основной подход тут - воспользоваться тем фактом, что число Fn - это количество способов облицевать прямоугольник 1 × n квадратами и костяшками домино.
Напомню, что нам нужно доказать:
F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn+2- 1. (*)
Идея заключается в том, чтобы рассматривать обе части уравнения как решение задачи с облицовкой. Если мы докажем, что левая и правая часть - решение для одного и того же прямоугольника, они совпадут между собой. Эта техника носит название комбинаторного доказательства[2 ]Слово «комбинаторный» образовано от существительного «комбинаторика» - названия раздела математики, предметом которого является подсчет вариантов в задачах, схожих с облицовкой прямоугольника. Слово «комбинаторика», в свою очередь, образовано от слова «комбинации». .
На какой вопрос по комбинаторике уравнение [* ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. дает два верных ответа? Эта головоломка похожа на те, что встречаются в шоу Jeopardy! [3 ]Популярная в США телевикторина. Аналоги Jeopardy! выходят в разных странах; в России это - «Своя игра». - Прим. ред. , где участники должны формулировать вопрос, заранее зная правильный ответ.
Правая часть выглядит проще, поэтому начнем с нее. Ответ: Fn+2– 1. Каков вопрос? Если бы ответ был равен просто Fn+2, мы с легкостью сформулировали бы вопрос: сколькими способами можно облицевать прямоугольник 1 × (n + 2) с помощью квадратов и костяшек домино? Это почти то, что нужно, но ответ меньше на единицу. Попробуем мягко поменять вопрос и уменьшить ответ. Уберем один вариант облицовки и пересчитаем оставшиеся. Сложность состоит в том, чтобы найти один вариант, который кардинально отличается от остальных. Есть ли такой?
Каждый способ облицовки подразумевает использование квадратов или домино. Только квадраты задействованы в единственном варианте, в прочих есть хотя бы одна костяшка домино. Возьмем это за основу нового вопроса.
Вопрос: Сколько существует вариантов облицовки квадратами и костяшками домино прямоугольной рамки 1 × (n + 2), включающих по меньшей мере одну костяшку домино?
Сейчас мы найдем два ответа на этот вопрос. Так как оба будут верны, между числами мы сможем уверенно поставить знак равенства.
Один из ответов мы уже обсуждали. Есть Fn+2 вариантов укладки. Только один из них подразумевает использование исключительно квадратов, без домино. Таким образом, ответ № 1 на наш вопрос таков: Fn+2– 1.
Второй ответ должен быть - я надеюсь - левой частью уравнения [* ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. . Посмотрим, как это работает.
Нужно пересчитать варианты заполнения рамки, включающие хотя бы одну костяшку домино. Давайте подумаем, где будет расположена самая первая костяшка. Есть n + 2 позиций, и первая костяшка может располагаться в позициях от 1 до n + 1.
Рассмотрим случай n = 4. Мы ищем варианты заполнения рамки 1 × 6, задействующие хотя бы одну костяшку домино. Мы знаем ответ: F6 - 1 = 13 - 1 = 12, но нам необходимо получить его иным путем.
Первая костяшка домино может занимать следующие позиции:
Первая колонка демонстрирует случай, когда костяшка находится на первой позиции, вторая - когда костяшка на второй, и т. д.
Сколько вариантов в каждой колонке?
В первой колонке - пять вариантов. Если отбросить домино слева, мы получим ровно F4 = 5 вариантов для прямоугольника 1 × 4. Во второй колонке - три варианта. Отбросим домино и квадрат слева. Мы получим F3 = 3 варианта для прямоугольника 1 × 3. Аналогично для других колонок. Вот что мы обнаружили:
Таким образом, количество способов замостить квадратами и домино (хотя бы одной костяшкой) прямоугольную рамку 1 × 6 равно F4 + F3 + F2 + F1 + F0 = 12.
Вывод: F0+F1+F2+F3+F4=12=F6–1.
Рассмотрим общий случай. Нам дана рамка длиной n + 2. Сколько есть вариантов ее заполнения, при которых первая костяшка домино находится на некой позиции k? В этом случае первые k - 1 позиций заняты квадратами. Таким образом, в общей сложности занята k + 1 позиция [4 ]Число k может принимать значения от 1 до n + 1, но не больше, потому что иначе последняя костяшка домино высунется за пределы рамки. . Оставшиеся (n + 2) - (k + 1) = n - k + 1 можно заполнить любыми способами. Это дает Fn-k+1 вариантов. Построим диаграмму:
Если k меняется от 1 до n + 1, величина n - k + 1 меняется от 0 до n. Таким образом, количество вариантов заполнения нашей рамки с использованием хотя бы одной костяшки домино равно Fn + Fn-1 +… + F1 + F0.
Если поставить слагаемые в обратном порядке, мы получим левую часть выражения (*). Таким образом, мы нашли второй ответ на поставленный вопрос: F0 +F1 +…+Fn.
Итак, у нас есть два ответа на вопрос. Величины, полученные с помощью двух выведенных нами формул, совпадают, и тождество [* ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. доказано.
Соотношение чисел Фибоначчи и золотое сечение
Сложение двух следующих друг за другом чисел Фибоначчи дает очередное число Фибоначчи. В этом разделе мы затронем вопрос поинтереснее: что будет, если мы поделим число Фибоначчи на предшествующее ему в ряду? Посчитаем соотношение Fk1. Для возрастающих значений k.
В таблице вы можете видеть соотношения от F1/F0 до F20/19.
Чем больше становятся числа Фибоначчи, тем ближе соотношение Fk+1/Fk к константе, примерно равной 1,61803. Это число - вы будете удивлены - достаточно известное, и если вы введете его в поисковую систему, вывалится уйма страниц о золотом сечении. Что это такое? Соотношение соседних чисел Фибоначчи не одинаково. Однако оно почти одинаково, если числа достаточно велики. Давайте найдем формулу для числа 1,61803 и для этого на время будем считать, что все соотношения одинаковы. Введем обозначение x:
x=Fk+1/ Fk=/ Fk+2/ Fk+1= Fk+3/ Fk+2=…
Это значит, что Fk+1 = xFk, Fk+2 = xFk+1 и т. д. Можно переформулировать:
Fk+2 =xFk+1=x2>Fk.
Но мы же знаем, что Fk+2= Fk+1 + Fk. Таким образом, x2>FkFk = xFk + Fk.
Если мы поделим обе части на Fk и перегруппируем слагаемые, то получим квадратное уравнение: x2-x-1=0. Оно имеет два решения:
Соотношение должно быть положительным. И вот мы получили знакомое нам число. Обычно для обозначения золотого сечения используют греческую букву φ (фи):
Мы уже приметили, что соотношение соседних чисел Фибоначчи приближается (стремится) к φ. Это замечательно. Это дает нам еще один способ вычислять приблизительные значения чисел Фибоначчи. Последовательность чисел Фибоначчи - это ряд F0 F1, F2, F3, F4, F5… Если все соотношения Fk+1/Fk будут одинаковы, мы получим формулу:
Здесь с - еще одна константа. Сравним округленные значения Fn и φn для разных n:
Для больших значений n соотношение Fn/ φn≈0,723607. Это число равно в точности φ/корень5. Другими словами,
Обратите внимание: если округлить до ближайшего целого числа, мы получим в точности Fn.
Если вы не хотите утруждать себя округлениями до целого числа, то формула, названная названная в честь Жака Бине [5 ]Жак Бинe (1786–1856) - французский математик, механик и астроном. Формула для чисел Фибоначчи названа в честь Бине, хотя почти на сто лет раньше ее вывел Абрахам де Муавр (1667–1754). - Прим. пер. , даст вам точное значение:
Заполнение рамки 1 × 5
Нашу рамку можно заполнить квадратами и домино следующими способами:
Есть F4 = 5 вариантов, когда вначале стоит квадрат, и F3 = 3 варианта, когда вначале стоит костяшка домино. В общей сложности это дает F5 = F4 + F3 = 8 вариантов.
Величина F10 (ответ на следующий вопрос, касающийся укладки) равна 89.
Не потеряйте. Подпишитесь и получите ссылку на статью себе на почту.
Вам, конечно же, знакома идея о том, что математика является самой главной из всех наук. Но многие могут с этим не согласиться, т.к. порой кажется, что математика – это лишь задачи, примеры и тому подобная скукотища. Однако математика может запросто показать нам знакомые вещи с совершенно незнакомой стороны. Мало того – она даже может раскрыть тайны мироздания. Как? Давайте обратимся к числам Фибоначчи.
Что такое числа Фибоначчи?
Числа Фибоначчи являются элементами числовой последовательности, где каждое последующее посредством суммирования двух предыдущих, например: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… Как правило, записывается такая последовательность формулой: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2 , n ≥ 2.
Числа Фибоначчи могут начинаться и с отрицательных значений «n», но в таком случае последовательность будет двусторонней – она будет охватывать и положительные и отрицательные числа, стремясь к бесконечности в двух направлениях. Примером такой последовательности может послужить: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, а формула будет: F n = F n+1 — F n+2 или же F -n = (-1) n+1 Fn.
Создателем чисел Фибоначчи является один из первых математиков Европы средних веков по имени Леонардо Пизанский, которого, собственно и знают, как Фибоначчи – это прозвище он получил спустя много лет после своей смерти.
При жизни Леонардо Пизанский очень любил математические турниры, по причине чего в своих работах («Liber abaci» /«Книга абака», 1202; «Practica geometriae»/«Практика геометрии», 1220, «Flos»/«Цветок», 1225 год – исследование на тему кубических уравнений и «Liber quadratorum»/«Книга квадратов», 1225 – задачи о неопределенных квадратных уравнениях) очень часто разбирал всевозможные математические задачи.
О жизненном пути самого Фибоначчи известно крайне мало. Но достоверно известно то, что его задачи пользовались огромнейшей популярностью в математических кругах в последующие века. Одну из таких мы и рассмотрим далее.
Задача Фибоначчи с кроликами
Для выполнения задачи автором были поставлены следующие условия: есть пара новорождённых крольчат (самка и самец), отличающихся интересной особенностью – со второго месяца жизни они производят новую пару кроликов – тоже самку и самца. Кролики находятся в замкнутом пространстве и постоянно размножаются. И ни один кролик не умирает.
Задача : определить количество кроликов через год.
Решение :
У нас есть:
- Одна пара кроликов в начале первого месяца, которая спаривается в конце месяца
- Две пары кроликов во втором месяце (первая пара и потомство)
- Три пары кроликов в третьем месяце (первая пара, потомство первой пары с прошлого месяца и новое потомство)
- Пять пар кроликов в четвёртом месяце (первая пара, первое и второе потомство первой пары, третье потомство первой пары и первое потомство второй пары)
Количество кроликов в месяц «n» = количеству кроликов прошлого месяца + количество новых пар кроликов, другими словами, вышеназванная формула: F n = F n-1 + F n-2 . Отсюда получается рекуррентная числовая последовательность (о рекурсии мы скажем далее), где каждое новое число соответствует сумме двух предыдущих чисел:
1 месяц: 1 + 1 = 2
2 месяц: 2 + 1 = 3
3 месяц: 3 + 2 = 5
4 месяц: 5 + 3 = 8
5 месяц: 8 + 5 = 13
6 месяц: 13 + 8 = 21
7 месяц: 21 + 13 = 34
8 месяц: 34 + 21 = 55
9 месяц: 55 + 34 = 89
10 месяц: 89 + 55 = 144
11 месяц: 144 + 89 = 233
12 месяц: 233+ 144 = 377
И эта последовательность может продолжаться бесконечно долго, но учитывая, что задачей является узнать количество кроликов по истечении года, получается 377 пар.
Здесь важно также заметить, что одним из свойств чисел Фибоначчи является то, что если сопоставить две последовательные пары, а затем разделить большую на меньшую, то результат будет двигаться по направлению к золотому сечению, о котором мы также скажем ниже.
Пока же предлагаем вам ещё две задачи по числам Фибоначчи:
- Определить квадратное число, о котором известно только, что если отнять от него 5 или прибавить к нему 5, то снова выйдет квадратное число.
- Определить число, делящееся на 7, но при условии, что поделив его на 2, 3, 4, 5 или 6 в остатке будет 1.
Такие задачи не только станут отличным способом развития ума, но и занимательным времяпрепровождением. О том, как решаются эти задачи, вы также можете узнать, поискав информацию в Интернете. Мы же не будем заострять на них внимание, а продолжим наш рассказ.
Что же такое рекурсия и золотое сечение?
Рекурсия
Рекурсия является описанием, определением или изображением какого-либо объекта или процесса, в котором есть сам данный объект или процесс. Иначе говоря, объект или процесс можно назвать частью самого себя.
Рекурсия широко используется не только в математической науке, но также и в информатике, массовой культуре и искусстве. Применимо к числам Фибоначчи, можно сказать, что если число равно «n>2», то «n» = (n-1)+(n-2).
Золотое сечение
Золотое сечение является делением целого на части, соотносящиеся по принципу: большее относится к меньшему аналогично тому, как общая величина относится к большей части.
Впервые о золотом сечении упоминает Евклид (трактат «Начала» прим. 300 лет до н.э.), говоря и построении правильного прямоугольника. Однако более привычное понятие было введено немецким математиком Мартином Омом.
Приблизительно золотое сечение можно представить в качестве пропорционального деления на две разные части, к примеру, на 38% и 68%. Численное же выражение золотого сечения равно примерно 1,6180339887.
На практике золотое сечение используется в архитектуре, изобразительном искусстве (посмотрите работы ), кино и других направлениях. На протяжении долгого времени, впрочем, как и сейчас, золотое сечение считалось эстетической пропорцией, хотя большинством людей оно воспринимается непропорциональным – вытянутым.
Вы можете попробовать оценить золотое сечение сами, руководствуясь следующими пропорциями:
- Длина отрезка a = 0,618
- Длина отрезка b= 0,382
- Длина отрезка c = 1
- Соотношение c и a = 1,618
- Соотношение c и b = 2,618
Теперь же применим золотое сечение к числам Фибоначчи: берём два соседних члена его последовательности и делим большее на меньшее. Получаем примерно 1,618. Если же возьмём то же самое большее число и поделим его на следующее большее за ним, то получим примерно 0,618. Попробуйте сами: «поиграйте» с числами 21 и 34 или какими-то другими. Если же провести этот опыт с первыми числами последовательности Фибоначчи, то такого результата уже не будет, т.к. золотое сечение «не работает» в начале последовательности. Кстати, чтобы определить все числа Фибоначчи, нужно знать всего лишь три первых последовательных числа.
И в заключение ещё немного пищи для ума.
Золотой прямоугольник и спираль Фибоначчи
«Золотой прямоугольник» — это ещё одна взаимосвязь между золотым сечением и числами Фибоначчи, т.к. соотношение его сторон равно 1,618 к 1 (вспоминайте число 1,618!).
Вот пример: берём два числа из последовательности Фибоначчи, например 8 и 13, и чертим прямоугольник с шириной 8 см и длинной 13 см. Далее разбиваем основной прямоугольник на мелкие, но их длина и ширина должна соответствовать числам Фибоначчи – длина одной грани большого прямоугольника должна равняться двум длинам грани меньшего.
После этого соединяем плавной линией углы всех имеющихся у нас прямоугольников и получаем частный случай логарифмической спирали – спираль Фибоначчи. Её основными свойствами являются отсутствие границ и изменение форм. Такую спираль можно часто встретить в природе: самыми яркими примерами являются раковины моллюсков, циклоны на изображениях со спутника и даже ряд галактик. Но более интересно то, что этому же правилу подчиняется и ДНК живых организмов, ведь вы помните, что оно имеет спиралевидную форму?
Эти и многие другие «случайные» совпадения даже сегодня будоражат сознание учёных и наводят на мысль о том, что всё во Вселенной подчинено единому алгоритму, причём, именно математическому. И эта наука кроет в себе огромное количество совсем нескучных тайн и загадок.
Последовательность Фибоначчи , известная всем по фильму "Код Да Винчи" - ряд цифр, описанный в виде загадки Итальянским математиком Леонардо Пизанским, более известным под прозвищем Фибоначчи, в XIII веке. Вкратце суть загадки:
Кто-то поместил пару кроликов в некоем замкнутом пространстве, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что каждый месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а способность к производству потомства у них появляется по достижению двухмесячного возраста.
В итоге получается такой ряд цифр: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , где через запятую показано количество пар кроликов в каждом из двенадцати месяцев. Его можно продолжать бесконечно долго. Его суть в том, что каждое следующее число является суммой двух предыдущих.
У этого ряда есть несколько математических особенностей, которых обязательно нужно коснуться. Он асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.
Так отношение какого-либо члена ряда к предшествующему ему колеблется около числа 1,618 , через pаз то превосходя, то не достигая его. Отношение к следующему аналогично приближается к числу 0,618 , что обратно пропорционально 1,618 . Если мы будем делить элементы через одно, то получим числа 2,618 и 0,382 , которые так же являются обратно пропорциональными. Это так называемые коэффициенты Фибоначчи.
К чему всё это? Так мы приближаемся к одному из самых загадочных явлений природы. Смекалистый Леонардо по сути не открыл ничего нового, он просто напомнил миру о таком явлении, как Золотое Сечение , которое не уступает по значимости теореме Пифагора.
Все окружающие нас предметы мы различаем в том числе и по форме. Какие-то нам нравятся больше, какие-то меньше, некоторые вовсе отталкивают взгляд. Иногда интерес может быть продиктован жизненной ситуацией, а порой красотой наблюдаемого объекта. Симметричная и пропорциональная форма, способствует наилучшему зрительному восприятию и вызывает ощущение красоты и гармонии. Целостный образ всегда состоит из частей разного размера, находящихся в определённом соотношении друг с другом и целым. Золотое сечение - высшее проявление совершенства целого и его частей в науке, искусстве и природе.
Если на простом примере, то Золотое Сечение - это деление отрезка на две части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как их сумма (весь отрезок) к большей.
Если мы примем весь отрезок c
за 1
, то отрезок a
будет равен 0,618
, отрезок b
- 0,382
, только так будет соблюдено условие Золотого Сечения (0,618/0,382=1,618
; 1/0,618=1,618
)
. Отношение c
к a
равно 1,618
, а с
к b
2,618
. Это всё те же, уже знакомые нам, коэффициенты Фибоначчи.
Разумеется есть золотой прямоугольник, золотой треугольник и даже золотой кубоид. Пропорции человеческого тела во многих соотношениях близки к Золотому Сечению.
Изображение: marcus-frings.de
Но самое интересное начинается, когда мы объединим полученные знания. На рисунке наглядно показана связь между последовательностью Фибоначчи и Золотым сечением. Мы начинаем с двух квадратов первого размера. Сверху добавляем квадрат второго размера. Подрисовываем рядом квадрат со стороной, равной сумме сторон двух предыдущих, третьего размера. По аналогии появляется квадрат пятого размера. И так далее пока не надоест, главное, чтобы длина стороны каждого следующего квадрата равнялась сумме длин сторон двух предыдущих. Мы видим серию прямоугольников, длины сторон, которых являются числами Фибоначчи, и, как не странно, они называются прямоугольниками Фибоначчи.
Если мы проведём плавную линий через углы наших квадратов, то получим ни что иное, как спираль Архимеда, увеличение шага которой всегда равномерно.
Ничего не напоминает?
Фото: ethanhein on Flickr
И не только в раковине моллюска можно найти спирали Архимеда, а во многих цветах и растениях, просто они не такие явные.
Алое многолистный:
Фото: brewbooks on Flickr
Фото: beart.org.uk
Фото: esdrascalderan on Flickr
Фото: mandj98 on Flickr
И тут самое время вспомнить о Золотом Сечении! Ни одни ли из самых прекрасных и гармоничных творений природы изображены на этих фотографиях? И это далеко не все. Присмотревшись, можно найти похожие закономерности во многих формах.
Конечно заявление, что все эти явление построены на последовательности Фибоначчи звучит слишком громко, но тенденция на лицо. Да и к тому же сама она далека от совершенства, как и всё в этом мире.
Есть предположение, что ряд Фибоначчи - это попытка природы адаптироваться к более фундаментальной и совершенной золотосечённой логарифмической последовательности, которая практически такая же, только начинается из ниоткуда и уходит в никуда. Природе же обязательно нужно какое-то целое начало, от которого можно оттолкнуться, она не может создать что-то из ничего. Отношения первых членов последовательности Фибоначчи далеки от Золотого Сечения. Но чем дальше мы продвигаемся по ней, тем больше эти отклонения сглаживаются. Для определения любого ряда достаточно знать три его члена, идущие друг за другом. Но только не для золотой последовательности, ей достаточно двух, она является геометрической и арифметической прогрессией одновременно. Можно подумать, будто она основа для всех остальных последовательностей.
Каждый член золотой логарифмической последовательности является степенью Золотой Пропорции (z ). Часть ряда выглядит примерно так: ... z -5 ; z -4 ; z -3 ; z -2 ; z -1 ; z 0 ; z 1 ; z 2 ; z 3 ; z 4 ; z 5 ... Если мы округлим значение Золотой пропорции до трёх знаков, то получим z=1,618 , тогда ряд выглядит так: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Каждый следующий член может быть получен не только умножением предыдущего на 1,618 , но и сложением двух предыдущих. Таким образом экспоненциальный рост обеспечивается путем простого сложения двух соседних элементов. Это ряд без начала и конца, и именно на него пытается быть похожей последовательность Фибоначчи. Имея вполне определённое начало, она стремится к идеалу, никогда его не достигая. Такова жизнь.
И всё-таки, в связи со всем
увиденным и прочитанным, возникают вполне закономерные вопросы:
От
куда взялись эти числа? Кто этот архитектор вселенной, попытавшийся
сделать её идеальной? Было ли когда-то всё так, как он хотел? И если
да, то почему сбилось? Мутации? Свободный выбор? Что же будет дальше?
Спираль скручивается или раскручивается?
Найдя ответ на один вопрос, получишь следующий. Разгадаешь его, получишь два новых. Разберёшься с ними, появится ещё три. Решив и их, обзаведёшься пятью нерешёнными. Потом восемью, потом тринадцатью, 21, 34, 55...
Источники: ; ; ;
Расскажет о понятии ряд Фибоначчи и как оно связанно с теорией волн, а также приведет опровержение применимости ряда к природным процессам.
, которую мастер разработал в 30-х годах прошлого века – это один из самых захватывающих разделов . Сама по себе она была выделена в новую главу науки, которая изучает графики. В её основе лежат разработки других специалистов в области теории (советую прочитать – книгу под авторством ).
Так, например, великого итальянского математика Леонардо Фибоначчи причисляют к ученым (о котором я уже говорил в статьях – , ), создавшим основу для теории Элиота.
Лучший брокер
Цифровой ряд чисел Фибоначчи – золотое сечение и коэффициенты или уровни коррекции + видео. Числа Фибоначчи в природе.Специалист жил ещё в XIII веке. Ученый опубликовал труд, который называется «Книга вычислений». Эта книга представила Европе важное для тех времен и не только открытие – десятичную систему счисления. Эта система ввела привычные для нас числа от нуля до девяти в обращение.
Появление этой системы было первым важным достижений Европы со времён падения Рима. Фибоначчи сохранил числовую науку для средневековья. А также заложил глубокие основы для развития других наук, таких как высшая математика, физика, астрономия, машиностроение.
Смотреть видео
Как появились числа и их производные
Решая прикладную задачу, Леонардо наткнулся на любопытный ряд чисел Фибоначчи, вначале которого находятся две единицы.
Каждый последующий член – это сумма двух предыдущих. Самое любопытное, что числовой ряд Фибоначчи – примечательная последовательность тем, что если любой член поделить на предыдущий, то получится число, которое близко к 0,618. Этому числу дали имя «Золотое сечение ».
Оказалось, что это число было известно человечеству очень давно. Например, в древнем Египте строили пирамиды с его использованием, а древние греки возводили по нему свои храмы. Леонардо да Винчи показал, как строение тела человека подчиняется этом числу.
Природа применяет числа из ряда Фибоначчи в своих наиболее сокровенных и продвинутых областях. От атомных структур и других мелких форм, как молекулы ДНК и микрокапилляры мозга до огромных, как планетарные орбиты и структуры галактик. Ряд примеров настолько велик, что следует утверждать, что в природе действительно присутствует некий основной закон пропорций.
Поэтому не удивительно, что ряд Фибоначчи и золотое сечение пробралось и на биржевые графики. И не одно число 0,618, но и его производные.
Если число золотого сечения возвести в первую, вторую, третью и четвертую степень и вычесть результат из единицы, то получиться новый ряд, который носит название «коэффициенты коррекции Фибоначчи ». Осталось только добавить отметку пять десятых – это пятидесятипроцентная .
Однако, это не все, что можно сделать с золотым сечением. Если единицу разделить на 0,618 то получается 1,618, если возведем в квадрат, то у нас получится 2,618, если возведем в куб, то получим число 4,236. Это коэффициенты расширения Фибоначчи. Тут не хватает только числа 3,236, которое было предложено Джоном Мёрфи.
Что думают о последовательности специалисты
Кто-то скажет, что эти числа уже знакомы, потому что они используются в программах технического анализа, для определения величины коррекции и расширения. Кроме того эти же ряды играют важную роль в волновой теории Элиота. Они являются его числовой основой.
Наш эксперт Николай Проверенный портфельный менеджер инвестиционной компании Восток.
- – Николай, как вы думаете, случайно ли появление чисел Фибоначчи и его производных на графиках различных инструментов? И можно ли сказать: «Ряд Фибоначчи практическое применение» имеет место?
- – К мистике отношусь плохо. А на графиках биржи тем более. У всего есть свои причины. в книге «Уровни Фибоначчи» красиво рассказывал, где появляется золотое сечение, что не стал удивляться тому, что оно появилось на графиках котировок биржи. А зря! Во многих примерах, которые он привел, часто появляется число Пи. Но его почему-то нет в ценовых соотношениях.
- – То есть вы не верите в действенность волнового принципа Элиота?
- – Да нет же, не в этом дело. Волновой принцип – это одно. Численное соотношение – это другое. А причины их появления на ценовых графиках – третье
- – Каковы на ваш взгляд причины появления золотого сечения на биржевых графиках?
- – Правильный ответ на этот вопрос может быть в силах заслужить Нобелевскую премию по экономике. Пока мы можем догадываться об истинных причинах. Они явно не в гармонии природы. Моделей биржевого ценообразования много. Они не объясняют обозначенный феномен. Но не понимание природы явления не должно отрицать явление как таковое.
- – А если когда – либо этот закон будет открыт, то сможет ли это разрушить биржевой процесс?
- – Как показывает та же теория волн закон изменения биржевых цен – это чистая психология. Мне кажется, знание данного закона ничего не изменит и не сможет разрушить биржу.
Материал предоставлен блогом веб-мастера Максима.
Совпадения основ принципов математики в самых разных теориях кажется невероятным. Может быть это фантастика или подгонка под конечный результат. Поживем – увидим. Многое из того, что раньше считалось необычным или было не возможно: освоение космоса, например, стало привычным и никого не удивляет. Также и волновая теория, может быть непонятная, со временем станет доступней и понятней. То, что раньше было не нужным, в руках аналитика с опытом станет мощным инструментом прогнозирования дальнейшего поведения .
Числа Фибоначчи в природе.
Смотреть
А теперь, давайте поговорим о том, как можно опровергнуть то, что цифровой ряд Фибоначчи причастен к каким-либо закономерностям в природе.
Возьмем любые другие два числа и выстроим последовательность с той же логикой, что и числа Фибоначчи. То есть, следующий член последовательности равен сумме двух предыдущих. Для примера возьмем два числа: 6 и 51. Теперь выстроим последовательность, которую завершим двумя числами 1860 и 3009. Заметим, что при делении этих чисел, мы получаем число близкое золотому сечению.
При этом числа, которые получались при делении других пар уменьшались от первых к последним, что позволяет утверждать, что если этот ряд продолжать бесконечно, то мы получим число равное золотому сечению.
Таким образом, числа Фибоначчи ни чем сами по себе не выделяются. Существует другие последовательности чисел, которых бесконечное множество, что дают в результате тех же операций золотое число фи.
Фибоначчи не был эзотериком. Он не хотел вложить никой мистики в числа, он просто решал обыкновенную задачу о кроликах. И написал последовательность чисел, которые вытекали из его задачи, в первый, второй и другие месяца, сколько будет кроликов после размножения. В течение года он получил ту самую последовательность. И не делал отношений. Никакой золотой пропорции, Божественном отношении речи не шло. Все это было придумано после него в эпоху Возрождения.
Перед математикой достоинства Фибоначчи огромны. Он от арабов перенял систему чисел и доказал её справедливость. Была тяжелая и долгая борьба. От римской системы счисления: тяжелой и неудобной для счета. Она исчезла после французской революции. Никакого отношения именно к золотому сечению Фибоначчи не имеет.
Спиралей бесконечно много, наиболее популярны: спираль натурального логарифма, спираль Архимеда, гиперболическая спираль.