Элементарные динамические звенья. Типовые динамические звенья Основные типовые динамические звенья систем автоматического управления
СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ САУ
Типовые звенья линейных САУ
Любые сложные САУ могут быть представлены как совокупность более простых элементов (вспомним функциональные и структурные схемы ). Поэтому для упрощения исследования процессов в реальных системах они представляются в виде совокупности идеализированных схем , которые точно описываются математически и приближенно характеризуют реальные звенья систем в определенном диапазоне частот сигналов.
При составлении структурных схем вводятся некие типовые элементарные звенья (простые, далее не делимые), характеризующиеся только своими передаточными функциями , вне зависимости от их конструктивного исполнения, назначения и принципа действия. Классифицируют их по видам уравнений описывающих их работу. В случае линейных САУ различают следующие типы звеньев :
1.Описываемые линейными алгебраическими уравнениями относительно выходного сигнала :
а) пропорциональное (статическое, безынерционное);
б) запаздывающее .
2.Описываемые дифференциальными уравнениями первого порядка с постоянными коэффициентами :
а) дифференцирующее ;
б) инерционно-дифференцирующее (реальное дифференцирующее);
в) инерционное (апериодическое);
г) интегрирующее (астатическое);
д) интегро-дифференцирующее (упругое).
3.Описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами :
а) инерционное звено второго порядка (апериодическое звено второго порядка, колебательное).
Используя математический аппарат, изложенный выше, рассмотрим передаточные функции , переходные и импульсные переходные (весовые) характеристики , а также частотные характеристики этих звеньев.
Приведем формулы, которые будут использованы для этой цели.
1. Передаточная функция : .
2. Переходная характеристика : .
3. : или .
4. КЧХ : .
5. Амплитудная частотная характеристика : ,
где , .
6. Фазовая частотная характеристика : .
По этой схеме и исследуем типовые звенья.
Заметим, что хотя для некоторых типовых звеньев n
(порядок производной выходного параметра
в левой части уравнения) равняется m
(порядок производной входного параметра
в правой части уравнения), а не больше m
, как говорилось ранее, однако при конструировании реальных САУ из этих звеньев условие m
Пропорциональное (статическое , безынерционное ) звено . Это самое простое звено , выходной сигнал которого прямо пропорционален входному сигналу :
где k - коэффициент пропорциональности или передачи звена.
Примерами такого звена являются: а) клапаны с линеаризованными характеристиками (когда изменение расхода жидкости пропорционально степени изменения положения штока ) в рассмотренных выше примерах систем регулирования; б) делитель напряжения; в) рычажная передача и др.
Переходя в (3.1) к изображениям, имеем:
1. Передаточная функция : .
2. Переходная характеристика : , следовательно .
3. Импульсная переходная характеристика : .
4. КЧХ : .
6. ФЧХ: .
Принятое описание связи между входом и выходом справедливо только для идеального звена и соответствует реальным звеньям лишь при низких частотах , . При в реальных звеньях коэффициент передачи k начинает зависеть от частоты и при высоких частотах падает до нуля.
Запаздывающее звено . Это звено описывается уравнением
где – время запаздывания.
Примером запаздывающего звена служат: а) длинные электрические линии без потерь; б) длинный трубопровод и др.
Передаточная функция , переходная и импульсная переходная характеристика , КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ этого звена:
2. , значит: .
На рис.3.1 изображены: а) годограф КЧХ запаздывающего звена ; б) АЧХ и ФЧХ запаздывающего звена. Заметим, что при увеличении конец вектора описывает по часовой стрелке все возрастающий угол.
Рис.3.1 . Годограф (а) и АЧХ, ФЧХ (б) запаздывающего звена.
Интегрирующее звено . Это звено описывается уравнением
где - коэффициент передачи звена.
Примерами реальных элементов, эквивалентные схемы которых сводятся к интегрирующему звену , являются: а) электрический конденсатор, если считать входным сигналом ток, а выходным – напряжение на конденсаторе: ; б) вращающийся вал, если считать входным сигналом угловую скорость вращения, а выходным – угол поворота вала: ; и т.д.
Определим характеристики данного звена:
2. .
Воспользуемся таблицей преобразования Лапласа 3.1, получаем:
.
Умножаем на так как функция при .
3. .
4. .
На рис.3.2 показаны: а) годограф КЧХ интегрирующего звена; б) АЧХ и ФЧХ звена; в) переходная характеристика звена.
Рис.3.2 . Годограф (а), АЧХ и ФЧХ (б), переходная характеристика (в) интегрирующего звена.
Дифференцирующее звено . Это звено описывается уравнением
где – коэффициент передачи звена.
Найдем характеристики звена:
2. , учитывая, что , находим: .
3. .
4. .
На рис.3.3 показаны: а) годограф звена; б) АЧХ и ФЧХ звена.
а ) б )
Рис. 3.3 . Годограф (а), АЧХ и ФЧХ (б) дифференцирующего звена.
Примером дифференцирующего звена являются идеальный конденсатор и индуктивность . Это следует из того, что напряжение u и ток i связаны для конденсатора С и индуктивности L соответственно следующими соотношениями:
Отметим, что реальная емкость обладает небольшой емкостной индуктивностью , реальная индуктивность имеет межвитковую емкость (которые особенно сильно проявляются на больших частотах), что приводит указанные выше формулы к следующему виду:
, .
Таким образом, дифференцирующее звено не может быть технически реализовано , так как порядок правой части его уравнения (3.4) больше порядка левой части. А нам известно, что должно выполняться условие n > m или, в крайнем случае, n = m .
Однако можно приблизиться к этому уравнению данного звена , использовав инерционно-дифференцирующее (реальное дифференцирующее )звено .
Инерционно-дифференцирующее (реальное дифференцирующее ) звено описывается уравнением:
где k - коэффициент передачи звена, Т - постоянная времени.
Передаточная функция , переходная и импульсная переходная характеристики , КЧХ, АЧХ и ФЧХ этого звена определяются формулами:
Используем свойство преобразования Лапласа – смещение изображения (3.20), согласно которому: если , то .
Отсюда: .
3. .
5. .
6. .
На рис.3.4 приведены: а) график КЧХ; б) АЧХ и ФЧХ звена.
а ) б )
Рис.3.4 . Годограф (а), АЧХ и ФЧХ реального дифференцирующего звена.
Для того чтобы свойства реального дифференцирующего звена приближались к свойствам идеального , необходимо одновременно увеличивать коэффициент передачи k и уменьшать постоянную времени Т так, чтобы их произведение оставалось постоянным:
kT = k д,
где k д – коэффициент передачи дифференцирующего звена.
Отсюда видно, что в размерность коэффициента передачи k д дифференцирующего звена входит время .
Инерционное звено первого порядка (апериодическое звено ) одно из самых распространенных звеньев САУ. Оно описывается уравнением:
где k – коэффициент передачи звена, Т – постоянная времени.
Характеристики данного звена определяются формулами:
2. .
Пользуясь свойствами интегрирования оригинала и смещением изображения имеем:
.
3. , т.к. при , то на всей временной оси данная функция равна 0 ( при ).
5. .
6. .
На рис.3.5 показаны: а) график КЧХ; б) АЧХ и ФЧХ звена.
Рис.3.5 . Годограф (а), АЧХ и ФЧХ инерционного звена первого порядка.
Интегро-дифференцирующее звено . Это звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка в наиболее общем виде:
где k - коэффициент передачи звена, Т 1 и Т 2 - постоянные времени.
Введем обозначение:
В зависимости от значения t звено будет обладать различными свойствами. Если , то звено по своим свойствам будет приближаться к интегрирующему и инерционному звеньям. Если , то данное звено по свойствам будет ближе к дифференцирующему и инерционно-дифференцирующему .
Определим характеристики интегродифференцирующего звена :
1. .
2. , отсюда следует:
Т.к. при t ® 0, то:
.
6. .
На рис.3.6. приведены: а) график КЧХ; б) АЧХ; в) ФЧХ; г) переходная характеристика звена.
а ) б )
в ) г )
Рис.3.6 . Годограф (а), АЧХ (б), ФЧХ (в), переходная характеристика (г) интегродифференцирующего звена.
Инерционное звено второго порядка . Это звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка:
где (капа) – постоянная затухания; Т - постоянная времени, k - коэффициент передачи звена.
Реакция системы, описываемой уравнением (3.8), на единичное ступенчатое воздействие при представляет собой затухающие гармонические колебания , в этом случае звено еще называется колебательным . При колебания не возникнут, и звено , описываемое уравнением (3.8) называется апериодическим звеном второго порядка . Если , то колебания будут незатухающими с частотой .
Примером конструктивного выполнения данного звена могут служить: а) электрический колебательный контур, содержащий емкость , индуктивность и омическое сопротивление ; б) масса , подвешенная на пружине и имеющая демпфирующее устройство , и т.д.
Определим характеристики инерционного звена второго порядка :
1. .
2. .
Корни характеристического уравнения стоящего в знаменателе определяются:
.
Очевидно, что здесь возможно три случая:
1) при корни характеристического уравнения отрицательные вещественные разные и , тогда переходная характеристика определяется:
;
2) при корни характеристического уравнения отрицательные вещественные одинаковые :
3) при корни характеристического уравнения звена являются комплексно -сопряженными , причем
переходная характеристика определяется формулой:
,
т.е., как отмечалось выше, она приобретает колебательный характер .
3. Также имеем три случая:
1) ,
т.к. при ;
2) , т.к. при ;
3) , т.к. при .
5. .
1.3.1 Особенности классификации звеньев САУ Основная задача теории автоматического управления ТАУ -разработать методы, с помощью которых можно было бы находить или оценивать показатели качества динамических процессов в САУ. Другими словами, рассматриваются не все физические свойства элементов системы, а только те, которые влияют, связаны с видом динамического процесса. Не рассматриваются конструктивное исполнение элемента, его габаритные размеры, способ подведения
энергии, особенности дизайна, номенклатура используемых материалов и т.д. Однако, важными будут такие, например, параметры, как масса, момент инерции, теплоемкость, сочетания RC, LC и т.д., напрямую определяющие вид динамического процесса. Особенности физического исполнения элемента важны только в той степени, в которой они будут влиять на его динамические показатели. Рассматривается, таким образом, только одно выделенное свойство элемента - характер его динамического процесса. Это позволяет свести рассмотрение физического элемента к его динамической модели в виде математической модели. Решение модели, т.е. дифференциального уравнения, описывающего поведение элемента, дает динамический процесс, подлежащий качественной оценке.
В основу классификации элементов САУ положены не особенности конструктивного выполнения или особенности их функционального назначения (объект управления, элемент сравнения, регулирующий орган и т.д.), а тип математической модели, т.е. математические уравнения связи между выходной и входной переменными элемента. Причем эта связь может быть задана, как в виде дифференциального уравнения, так и в другой трансформированной форме, например с помощью передаточных функций (ПФ). Дифференциальное уравнение даёт исчерпывающую информацию о свойствах звена. Решив его, при том или ином заданном законе входной величины, получаем реакцию, по виду которой оцениваем свойства элемента.
Введение понятия передаточной функции позволяет получить связь между выходной и входной величинами в операторной форме и при этом воспользоваться некоторыми свойствами передаточной функции, позволяющими существенно упростить математическое представление системы и воспользоваться некоторыми их свойствами. Для объяснения понятия ПФ рассмотрим некоторые свойства преобразования Лапласа.
1.3.2 Некоторые свойства преобразования Лапласа Решение моделей динамических звеньев САУ дает изменение переменных во временной плоскости. Мы имеем дело с функциями X(t). Однако, с помощью преобразования Лапласа их можно трансформировать в функции [Х(р)] с другим аргументом р и новыми свойствами.
Преобразование Лапласа есть частный случай соответствия типа: одной функции ставится в соответствие другая функция. Обе функции связаны между собой определённой зависимостью. Соответствие напоминает зеркало, отображающее различным образом, в зависимости от формы, находящийся перед ней объект. Вид отображения (соответствия) может быть выбран произвольным образом, в зависимости от решаемой задачи. Можно, например, искать соответствие между совокупностью чисел, смысл которого сводится к тому, как по выбранному числу у из области Y найти число х из области X. Такая связь может быть задана аналитически, в виде таблицы, графика, правила и т.д.
Аналогично может быть установлено соответствие между группами функций (рис. 3.1 а), например, в виде:
В качестве соответствия между функциями x(t) и х(р) (рис.3.1 б) может быть использован интеграл Лапласа:
при соблюдении условий: x(t) = 0 при и при t.
В САУ исследуются не абсолютные изменения переменных, а их отклонения от установившихся значений. Следовательно, x(t) - класс функций, описывающих отклонения переменных в САУ и для них выполняется оба условия преобразования Лапласа: первое - так как до приложения возмущения изменения переменных не происходит, второе - так как с течением времени любое отклонение в работоспособной системе стремится к нулю.
Это условия существования интеграла Лапласа. Получим, в качестве примера изображения простейших функций но Лапласу.
Рис. 3.1. Виды отображения функций
Так, если дана единичная функция x(t) = 1, то
Для экспоненциальной функции x(t) = e -α t изображение по
Лапласу будет иметь вид:
Окончательно:
Полученные функции не сложнее исходных. Функция x(t) называется оригиналом, а х(р) - ее изображением. Условно прямое и обратное преобразование Лапласа можно представить в виде:
L=x(p),L -1 <=x(t).
При этом существует однозначная связь между оригиналом и изображением, и наоборот, оригиналу соответствует только единственное изображение функции. Рассмотрим некоторые свойства преобразования Лапласа.
Изображение дифференциала функции. Пусть функции x(t) соответствует изображение х(р): x(t)-> х(р)- Необходимо найти изображение ее производной x(t) :
Таким образом
При нулевых начальных условиях
Для изображения производной n-го порядка:
Таким образом, изображение производной функции есть изображение самой функции, умноженное на оператор p в степени n , где п - порядок дифференцирования.
Элементарным динамическим звеном (ЭДЗ) называется математическая модель элемента в виде дифференциального уравнения, не подлежащего дальнейшему упрощению.
1.3.3 Инерционное апериодическое звено первого порядка
Такое звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка, связывающего входную и выходную величины:
Примером такого звена кроме термопары, электродвигателя постоянного тока, RL-цепочки, может служить пассивная RC - цепочка (рис. 3.2 г).
Используя основные законы описания электрических цепей получим математическая модель апериодического звена в дифференциальной форме:
Получим связь между входной и выходной величинами звена в форме преобразования Лапласа:
Рис. 3.2. Примеры апериодических звеньев
Отношение выходной величины к входной дает оператор вида.
Типовые звенья САУ и их характеристики
Типовые динамические звенья
Типовым динамическим звеном
САУ является составная часть системы, которая описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Звено, как правило, имеет один вход и один выход. По динамическим свойствам типовые звенья делятся на следующие разновидности: позиционные, дифференцирующие и интегрирующие.
Позиционными звеньями
являются такие звенья, у которых в установившемся режиме наблюдается линейная зависимость между входными и выходными сигналами. При постоянном уровне входного сигнала сигнал на выходе также стремится к постоянному значению.
Дифференцирующими
являются такие звенья, у которых в установившемся режиме выходной сигнал пропорционален производной по времени от входного сигнала.
Интегрирующими
являются такие звенья, у которых выходной сигнал пропорционален интегралу по времени от входного сигнала.
Звено считается заданным и определенным, если известна его передаточная функция или дифференциальное уравнение. Кроме того, звенья имеют временные и частотные характеристики.
Наличие нулевых корней в числителе или знаменателе ПФ типовых звеньев - это признак для разбиения последних на три группы:
Позиционные звенья: 1, 2, 3, 4, 5, - не имеют нулевых корней, и, следовательно, в области низких частот (т.е. в установившемся режиме), имеют коэффициент передачи равный k.
Интегрирующие звенья: 6, 7, 8, - имеют нулевой корень-полюс, и, следовательно, в области низких частот, имеют коэффициент передачи, стремящийся к бесконечности.
Дифференцирующие звенья: 9, 10 - имеют нулевой корень-ноль, и, следовательно, в области низких частот, имеют коэффициент передачи, стремящийся к нулю.
В зависимости от величины самовыравнивания различают три типа объектов управления: устойчивый (с положительным самовыравниванием); нейтральный (с нулевым самовыравниванием); неустойчивый (с отрицательным самовыравниванием). Признаком отрицательного самовыравнивания является отрицательный знак перед самой выходной величиной в левой части дифференциального уравнения или появление отрицательного знака у свободного члена знаменателя передаточной функции (наличие положительного полюса).
Под законом регулирования
(управления) понимается алгоритм или функциональная зависимость, определяющая управляющее воздействие u(t) на объект:
u(t) = F(Δ) , где Δ - ошибка регулирования.
Законы регулирования бывают:
- линейные:
или (3.1)
- нелинейные: .
Кроме того, законы регулирования могут быть реализованы в непрерывном виде или в цифровом. Цифровые законы регулирования реализуются путем построения регуляторов с помощью средств вычислительной техники (микро ЭВМ или микропроцессорных систем).
Наличие в (3.1) чувствительности регулятора к пропорциональной, к интегральным или к дифференциальным составляющим в первичной информации x(t), определяет тип регулятора:
1. P
- пропорциональный;
2. I
- интегральный;
3. PI
- пропорционально интегральный (изодромный);
4. PD
- пропорционально дифференциальный;
5. и более сложные варианты - PID
, PIID
, PIDD
, ...
Нелинейные законы регулирования подразделяются на:
1. функциональные;
2. логические;
3. оптимизирующие;
4. параметрические.
В составе структуры САУ содержится управляющее устройство, которое называется регулятором и выполняет основные функции управления, путем выработки управляющего воздействия U в зависимости от ошибки (отклонения), т.е. U = f(Δ). Закон регулирования определяет вид этой зависимости без учёта инерционности элементов регулятора. Закон регулирования определяет основные качественные и количественные характеристики систем.
6.4. Временные характеристики звеньев САУ |
Важнейшей характеристикой САР и её составных элементов являются переходные и импульсные переходные (импульсные) функции.
Аналитическое определение переходных функций и характеристик основано на следующих положениях. Если задана передаточная функция системы или отдельного звена W(р) и известен входной сигнал X(t), то выходной сигнал Y(t) определяется следующим соотношением:
Таким образом, изображение выходного сигнала представляет собой произведение передаточной функции на изображение входного сигнала . Сигнал y(t) в явном виде получил после перехода от изображения к оригиналу y(t). Для большинства случаев линейных систем и составных элементов разработаны таблицы, позволяющие производить переход от изображений к оригиналу и обратно. В данном разделе представлена таблица 3.1 переходов для наиболее распространенных случаев.
Так как изображение единичного ступенчатого воздействия равно 1/p, то изображение переходной функции определяется соотношением:
Следовательно, для нахождения переходной функции необходимо передаточную функцию разделить на p и выполнять переход от изображения к оригиналу.
Изображение единичного импульса равно 1. Тогда изображение импульсной функции определяется выражением:
Таким образом, передаточная функция является изображением импульсной функции.
Импульсная и переходная функции, как и передаточная функция, являются исчерпывающими характеристиками системы при нулевых начальных условиях. По ним можно определить выходной сигнал при произвольных входных воздействиях.
Таблица 3.1
Изображение по Лапласу и оригиналы
Изображение | Оригинал f(t) |
Передаточные функции и временные характеристики типовых звеньев приведены в таблице 3.2.
Таблица 3.2
Временные характеристики типовых звеньев
Тип звена | Передаточные функции | Временные функции | ||
Позиционные звенья | ||||
Усилительное | ||||
Апериодическое 1-го порядка | ||||
Апериодическое 2-го порядка T 1 ≥2T 2 | ||||
Колебательное 0<ξ<1 | ||||
Консервативное | ||||
Интегрирующие звенья | ||||
Интегрирующее идеальное | ||||
Интегрирующее инерционное | ||||
Изодромное 1-го порядка | ||||
Изодромное 2-го порядка | ||||
Дифференцирующие звенья | ||||
Идеальное дифференцирующее | ||||
Дифференцирующее инерционное | ||||
Форсирующее 1-го порядка | ||||
6.4. Частотные характеристики звеньев САУ | ||||
В условиях реальной эксплуатации САУ часто возникает необходимость определить реакцию на периодические сигналы, т.е. определить сигнал на выходе САУ, если на один из входов подается периодически сигнал гармонической формы. Решение этой задачи возможно получить путем использования частотных характеристик. Частотные характеристики могут быть получены экспериментальным или аналитическим путем. При аналитическом определении исходным моментом является одна из передаточных функций САУ (по управлению или по возмущению). Возможно также определение частотных характеристик исходя из передаточных функций разомкнутой системы и передаточной функции по ошибке.
Если задана передаточная Функция W(р), то путём подставки p=jω получаем частотную передаточную функцию W(jω), которая является комплексным выражением т.е. W(jω)=U(ω)+jV(ω), где U(ω) - вещественная составляющая, а V(ω) - мнимая составляющая. Частотная передаточная функция может быть представлена в показательной форме:
W(jω)=A(ω)e jφ(ω) (3.2)
Где - модуль; - аргумент частотной передаточной функции.
Функция A(ω), представленная при изменении частоты от 0 до получило название амплитудной частотной характеристики (АЧХ).
Функция Φ(ω), представленная при изменении частоты от 0 до называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).
Таким образом, дифференциальное уравнение движения системы связывает входной и выходной сигналы (т.е. функции времени), ПФ связывает изображения Лапласа тех же сигналов, а частотная ПФ связывает их спектры.
Частотная передаточная функция W(jω) может быть представлена на комплексной плоскости. Графическое отображение для всех частот спектра отношений выходного сигнала САУ к входному, представленных в комплексной форме будет представлять собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) или годограф Найквиста. Величина отрезка от начала координат до каждой точки годографа показывает во сколько раз на данной частоте выходной сигнал больше входного - АЧХ, а сдвиг фазы между сигналами определяется углом до упомянутого отрезка - ФЧХ. При этом отрицательный фазовый сдвиг представляется вращением вектора на комплексной плоскости по часовой стрелке относительно вещественной положительной оси, а положительный фазовый сдвиг представляется вращением против часовой стрелки.
Для упрощения графического представления частотных характеристик, а также для облегчения анализа процессов в частотных областях используются логарифмические частотные характеристики: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (л.а.ч.х.) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (л.ф.ч.х.). При построении логарифмических характеристик на шкале частот вместо ω откладывается lg(ω) и единицей измерения является декада. Декадой называется интервал частот, соответствующий изменению частоты в 10 раз. При построений л.а.ч.х. на оси ординат единицей измерения является децибел [дБ], который представляет собой соотношение L=20 lg А(ω). Один децибел представляет собой увеличение амплитуды выхода в раз. Верхняя полуплоскость л.а.х. соответствует значениям А>1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость - значениям А<1 (ослабление амплитуды). Точка пересечения л.а.х. с осью абсцисс соответствует частоте среза ω ср
, при которой амплитуда выходного сигнала равна входной.
Для л.ф.ч.х. на оси частот используется логарифмический масштаб, а для углов - натуральный масштаб. На практике логарифмические частотные характеристики строятся на совмещённой системе координат, которые представлены на рис. 3.2.
Рис 3.2. Схема координат для логарифмических характеристик
Главным достоинством логарифмических частотных характеристик является возможность построения их во многих случаях практически без вычислительной работы, т.е. строить асимптотические л.ч.х.. Особенно удобно использовать логарифмические частотные характеристики при анализе всей системы, когда результирующая передаточная функция после разложения на множители приводится к виду:
(3.3)
т.е. передаточную функцию любой САУ в общем случае можно представить как произведение передаточных функций следующего вида:
- где: K r , r, T, ξ, - постоянные величины, причём K r >0, r>0, T>0, 0<ξ<1.
В этом случае построение л.а.х. производится по выражению
Построение л.ф.х. производится по выражению
Таким образом, результирующая л.а.х. определяется суммированием л.а.х. составляющих типовых звеньев, а результирующая л.ф.х. - соответственно суммированием л.ф.х. составляющих типовых звеньев.
Статические и динамические звенья.
При исследовании САУ они обычно разбиваются на отдельные звенья. Звенья, входящие в САУ, могут быть статическими и динамическими. Статические звенья – это звенья, у которых связь между входной x вх и выходной x координатой определяется алгебраическим уравнением
Если функция линейна, т.е. x=k* x вх,
то такое статическое звено является линейным. Во всех остальных случаях оно не линейно.
Динамические звенья – это звенья, у которых связь между выходом и входом звена описывается дифференциальным уравнением.В нашем курсе – это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Передаточная функции линейных САУ представляют собой дробно-рациональные функции переменной “p” с действительными коэффициентами. Такие полиномы (как в числителе, так и в знаменателе) имеют действительные или комплексно-сопряженные корни. При разложении полиномов на элементарные множители действительный корень дает сомножитель в виде линейного двучлена, а пара комплексно-сопряженных корней – сомножитель в виде квадратного трехчлена относительно “p”. Нулевой корень даст дополнительный сомножитель p . Следовательно, передаточная функция любой стационарной линейной системы может быть сведена к произведению некоторых передаточных функций. В этих элементарных передаточных функциях максимальная степень p не превышает двух. Звенья, соответствующие этим передаточным функциям, назовем типовыми.
Рассмотрим типовые звенья их уравнения и характеристики.
Безынерционное (усилительное) звено.
1.Безынерционное (усилительное) звено.
Уравнение звена
где х – входная, f – выходная переменные.
Передаточная функция
Переходная функция
Весовая характеристика w(t)=kδ(t).
АЧХ звена W(jw)=k , откуда получаем
ЛАЧХ H(w)=20lg k , φ(w)=0 (см. рис.47)
откуда следует, что P(w)=0 , Q(w)= - k / w , A(w)= k / w , φ(w)=-90 0 .Годограф АЧХ на комплексной плоскости на рис.48.
ЛАЧХ звена имеет вид
т.е. ЛАЧХ интегрирующего звена представляет собой с отрицательным наклоном
20 Дб / дек, принимающую при lgw=0 (w=1) значение 20 lg k . Фазовая характеристика интегрирующего звена представляет собой прямую φ= - 90 0 (см.рис. 49).
|
Рис.49.
Апериодическое звено.
3.Апериодическое звено. Это звено, передаточная функция которого имеет вид
(45)
здесь К – коэффициент передачи, Т – постоянная времени апериодического звена. К такому виду может быть также приведена передаточная функция
Передаточная функция (45) соответствует следующее дифференциальное уравнение:
Его решение при f(t)=1(t) и нулевом начальном условии x(0)=0 дает переходную характеристику
(46)
|
График h(t) показан на рис.50.
Из зависимости (46) видно, что установившиеся значение выходного сигнала при единичном ступенчатом входном воздействии равно К. Время регулирования, определяемое по моменту входа в 5% отклонение от установившегося значения составляет 3Т
Импульсная переходная функция звена получается как обратное преобразование Лапласа его передаточной функции, т.е.
Для определения частотной характеристики положим p=jw . Тогда
Формулы для АЧХ и ФЧХ имеют вид
а для ЛАЧХ – вид
На рис.51. Представлен годограф АЧХ апериодического звена, соответствующий изменению w от 0 до ∞ (к>0, T>0). Он представляет собой полуокружность радиуса к/2 c центром в точке (k/2, 0)
Динамика большинства функциональных элементов САУ независимо от исполнения может быть описана одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями не более второго порядка. Такие элементы называют элементарными динамическими звеньями. Передаточная функция элементарного звена в общем виде задается отношением двух полиномов не более чем второй степени:
Известно также, что любой полином произвольного порядка можно разложить на простые сомножители не более, чем второго порядка. Так по теореме Виета модно записать
D (p) = a o p n + a 1 p n - 1 + a 2 p n - 2 +. + a n = a o (p - p 1) (p - p 2). (p - p n), (4)
где p 1 , p2,., p n - корни полинома D (p). Аналогично
K (p) = b o pm + b 1 p m - 1 +. + bm = b o (p - p ~ 1) (p - p ~ 2). (p - p ~ m), (5)
где p ~ 1 , p ~ 2 ,., p ~ m - корни полинома K (p). То есть
Корни любого полинома могут быть либо вещественными p i = a i , либо комплексными попарно сопряженными p i = a i ± j i . Любому вещественному корню при разложении полинома соответствует сомножитель (p - a i). Любая пара комплексно сопряженных корней соответствует полиному второй степени, так как
(p - a i + j i) (p - a i - j i) = (p - ai) 2 + i 2 = p 2 - 2pa i + (a i 2 + i 2). (7)
Поэтому любую сложную передаточную функцию линеаризованной САУ можно представить как произведение передаточных функций элементарных звеньев. Каждому такому звену в реальной САУ, как правило, соответствует какой - то отдельный узел. Зная свойства отдельных звеньев можно судить о динамики САУ в целом.
В теории удобно ограничиться рассмотрением типовых звеньев, передаточные функции которых имеют числитель или знаменатель, равный единице, то есть
W (p) = 1/p, W (p) = p, W (p) = Tp+ 1, W (p) = k (9) (11)
Из них могут быть образованы все остальные звенья. Звенья, у которых порядок полинома числителя больше порядка полинома знаменателя, технически нереализуемы.
Структурная схема САУ в простейшем случае строится из элементарных динамических звеньев. Но несколько элементарных звеньев могут быть заменены одним звеном со сложной передаточной функцией. Для этого существуют правила эквивалентного преобразования структурных схем. Рассмотрим возможные способы преобразований:
1) Последовательное соединение - выходная величина предшествующего звена подается на вход последующего
Рисунок 4.1 - Последовательное соединение звеньев
2) Параллельно - согласное соединение - на вход каждого звена подается один и тот же сигнал, а выходные сигналы складываются. Тогда:
y = y1 + y2 +. + yn = (W1 + W2 +. + W3) yo = Wэкв yo, (12)
Рисунок 4.2 - Параллельно-согласное соединение звеньев
3) Параллельно - встречное соединение - звено охвачено положительной или отрицательной обратной связью. Участок цепи, по которому сигнал идет в противоположном направлении по отношению к системе в целом (то есть с выхода на вход) называется цепью обратной связи с передаточной функцией W ос. При этом для отрицательной ОС:
y = W п u; y 1 = W ос y; u = y o - y 1 , (13)
W экв = W п / (1 ± W п). (14)
Рисунок 4.3 - Параллельно-встречное соединение звеньев
Замкнутую систему называют одноконтурной, если при ее размыкании в какой либо точке получают цепочку из последовательно соединенных элементов. Участок цепи, состоящий из последовательно соединенных звеньев, соединяющий точку приложения входного сигнала с точкой съема выходного сигнала называется прямой цепью. Цепь из последовательно соединенных звеньев, входящих в замкнутый контур называют разомкнутой цепью. Исходя из приведенных выше способов эквивалентного преобразования структурных схем, одноконтурная система может быть представлена одним звеном с передаточной функцией: Wэкв = Wп/ (1 ± Wp) - передаточная функция одноконтурной замкнутой системы с отрицательной ОС равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой цепи. Для положительной ОС в знаменателе знак минус. Если сменить точку снятия выходного сигнала, то меняется вид прямой цепи. Так, если считать выходным сигнал y1 на выходе звена W1, то Wp = Wo W1. Выражение для передаточной функции разомкнутой цепи не зависит от точки снятия выходного сигнала. Замкнутые системы бывают одноконтурными и многоконтурной. Чтобы найти эквивалентную передаточную функцию для данной схемы нужно сначала осуществить преобразование отдельных участков.